Remarquons d'abord qu'en écrivant

S' ^ flj cos X — a^ cos 3 a; + «D cos 5 a; — . . . , les coefficients a^, Og, a^, ... sont positifs et vont en diminuant. Soit, m étant un entier impair,

Rm = -- COS mx p-^ cos (m + 2) a; 4- ... ± — , -r cos (m 4-2k)x,

m m-\-2 vi'i -^ m -\-2k ^ '

B!^ = amCosmx — û'm+2C0s(m + 2)a; + . .. ± Om+ik cos(m4- 2Ar)a;.

On aura

2 Rî„ ces X = Hm cos (m — 1) a; + (Om — am+2) cos {m -{- \)x —

— (am + 2 — Om + i)C03{m-\-3)x

T(am+2k ■2 — am+2k)cos(m-\-2k—])x ±a„,+2kC03(m-\-2k-\-\)x; d'où l'on conclut qu'en valeur absolue

\2Bi„ cos X \ < Om -\- (Om — Om + 2) +

-}- (am + 2 — Clm+i) 4" • • • + («m4-2i — 2 — (lm + 2k) + fm+2Ai

cos X m cos X et de la même façon

(9) |Rm|< —

Cette dernière relation montre que la série S est convergente.

4. Cela étant, soit s un nombre positif donné aussi petit qu'on voudra. Il faut montrer qu'il est possible de trouver un entier N tel que , pour

on ait toujours

Il est bien entendu qu'on suppose que x a une valeur fixe comprise

n entre ±: -n'

Voici comment on peut trouver ce nombre N. Décomposons d'abord d'une manière quelconque s en deux parties également positives:

et prenons un nombre entier impair m tel que

e' cos X En écrivant alors

S = cosa; — -^cos3a;4- . . . ± r. cos (m — 2) rc ± Rm,

S' ^ fli cos a; — Og cos 3a; -f- • • • ± «m -2 cos (m — 2) x ± R™ , on aura, d'après les limitations (8) et (9),

I Rm I < 2^ e">

D'autre part, en faisant croître indéfiniment l'entier n, l'expression ai cos a; — fla cos 3a; + • • ± «m-s cos (m — 2) a;

tend vers

cos a; — ^ cos 3a; + . . . ± — — ^ cos (m — 2) x.

On peut donc déterminer un entier N tel que, pour

la différence de ces deux expressions soit inférieure à e', et il est visible que, pour ces valeurs de w, on aura

La formule

— := C08 a; — -^ cos 3 a; + "^ cos 5 a; — ... 4 do

est ainsi démontrée rigoureusement; il faut supposer x compris entre ±2