On peut obtenir d'unp façon analogue le développement

-^a;= ^ sin 2a; r- smix-f- -^ sinôa; — . . .

On déterminera d'abord une expression

^„ {x) = Oj sin 2a; + 02 sin 4a; + • ■ • + û» sin 2 wa;, par la condition que le développement de ^„ {x) soit de cette forme >p„ (a;) = a; + ft„ a;2''+i + A„ + , a;2«+3 ^ .

On obtient immédiatement la valeur de ^„ (x) en remarquant que

^„ (x) — X ne peut différer que par un facteur constant de

(8lna;)2''da;,

et la suite du raisonnement est tout à fait semblable à ce que nous venons d'exposer en détail.

(J. Math., Paris, sér. 4, 5, 1889, 425—444)

Sur le développement de log r (a).

Le but principal de ce travail est de donner une nouvelle déduction de la formule (formule de Stirling)

log r (a) = (a — I) log a — a + i log (2 n) +

j Bj B2 , -63 1

^1.2o 3.4a3^5.6as

et de faire ressortir que le second membre représente asymptotiquement la valeur de log r (a) (dans un sens que nous préciserons plus loin) , même dans le cas où la valeur de a est imaginaire, la partie réelle de a étant négative.

Les intégrales définies que l'on a jusqu'ici introduites dans cette théorie présentent toutes cette particularité qu'elles ne sont valables qu'en supposant la partie réelle de a positive et ne conviennent donc pas à notre but.

1. II n'entre pas dans nos intentions de reprendre toute la théorie de la fonction T; mais, pour mieux caractériser notre point de vue, il semble convenable de donner une déduction rapide de toutes les formules dont nous aurons besoin.

Nous adopterons comme définition cette formule

(1) . . . . r(o) = lim— — , ,,/ ,"' — ; — , TTn";

212 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F (o).

d'où l'on conclut immédiatement

(2) . r(a + l) = ar(a)

Par conséquent , la formule (1) peut s'écrire

^, , ,. r(n) r(a) „ r a = lira „\ , , n" ,

donc

Une autre propriété qui découle immédiatement de la définition adoptée est celle-ci

sm (71 a) Des formules (2) et (4) on déduit encore

a sin (n a)

cos {n a) Remplaçons ici a par ui, u étant réel ; on en conclura

mod r (Mt) = V—, 1

lmodr(4+Mz) = l/ ^^^

2. Nous avons à considérer maintenant la fonction log r (a). C'est là une fonction qui n'est pas uniforme comme l'était r (a). Mait il suffira de considérer une branche particulière de logr(a), et, pour la préciser , nous supposerons d'abord que log r (a) est réel lorsque a est

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a). 213

réel et positif. Ensuite nous limiterons la marche de la variable par la condition qu'elle ne traversera jamais la partie négative de l'axe des abscisses : nous avons ainsi une coupure de 0 à — oo . De cette façon log r (a) a une valeur unique et bien déterminée dans tout le plan , à l'exception des points de la coupure.

Pour ces points particuliers, log r(a) a deux valeurs selon que l'on arrive à un tel point par un chemin tracé dans la motié supérieure ou inférieure du plan. L'axe des abscisses divise le plan en deux parties : nous désignons ici par moitié supérieure du plan cette partie où se trouve le point -j- i. La notation

+ logr(a), logr(a)

servira à distinguer les deux valeurs de log F (a) aux bords de la coupure. Il est clair que la fonction log F (a), telle que nous venons de la définir , prend des valeurs conjuguées pour deux valeurs de a qui sont conjuguées. Par conséquent, la différence

+ log r (a) — log r (a)

sera purement imaginaire. Il est facile d'obtenir cette différence. En supposant

n étant entier et positif, la définition de r (a) permet de conclure immédiatement

(6) log r (o) — log r (a) = — 2 71 î X n.

3. Considérons de même la fonction log a en limitant la marche de la variable comme dans le cas de log r (a) : on a

+ log a — \oga = -\-2jii,

donc

+ (7) . . . (a — ^Moga — {a — ^)log a = — 2 ni[ti-\-^ — il-

214 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F (o).

Posons

log r (a) — (a — ^) log a = f(a) , on aura

(8) fi)-fi^)^2nill-ij

On voit que cette différence est indépendante de n et se reproduit ainsi périodiquement le long de la coupure.

Définissons maintenant une fonction d'une variable réelle x ainsi

[ (0 < X < 1) et posons

(10) J(a)=r^— dx.

Nous définissons ainsi une fonction qui existe dans tout le plan, mais qui admet comme coupure la partie négative de l'axe des abscisses.

La différence des valeurs de J(a) aux deux bords de la coupure s'obtient immédiatement à l'aide de la formule de M. Hermite (Journal de Borchardt, t. 91, p. 65)

(11) J(a) — J(a) = 27ii[| — I].

L'inspection des formules (8) et (11) conduit à considérer la différence f(a) — J (a); posons donc

(12) 9?(a) = logr(a) — (o — |)loga — J(a);

on aura

c'est-à-dire que la fonction cp (a) est uniforme dans le vrai sens du mot , sans limiter la marche de la variable. Il est facile à voir aussi que g? (a) reste toujours finie et est, par conséquent, holomorphe dans tout le plan.

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a). 215

Mais il n'est pas nécessaire d'insister sur ce point, car nous allons voir qu'on obtient facilement l'expression explicite de cette fonction 99 (a).

4. Pour cela , il est nécessaire d'étudier d'abord la fonction J (a). Si l'on écrit

J(a) = / — j — dx-\- --,- d^+Z — r^dxA- J x-}-a ' J x-^a ' J x-\-a '

^'^dx+r-^-^'dx+r^^^^