X -p ce J X -j— (Z J
on a , d'après la définition de P (x) ,
<i3> j(«)=É/Vi^|i.'^^'
(14) . . . J(a) = |^[(a + n + J)log(^-+-^+i)-l
et il est clair qu'on a
(15) .... J(a)-J(a + l) = (a-f-|)log(^i^)-l. L'équation (14) peut donc s'écrire
donc
(16) limJ(a4-n) = 0.
5. Les formules (15) et (16) nous permettent de reconnaître sans difficulté la nature de la fonction q> (a). En effet, nous calculons d'abord
<p(a + l) — 9?(a) = loga — (a + ^)log(a + l) + (a — |)loga — J(a + 1)4-J(a),
c'est-à-dire, d'après (15),
216 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).
Donc , si nous posons
q9 (a) = — a + V (a) , c'est-à dire
(17) . . . . v(a) = iogr(a)- (a — |)loga + a — J(a), la fonction y (a) admettra la période 1
Soit n un entier positif, on aura
V (a 4" w) — V (w) = = log r (a + n) — log r (n) — (o + n — |) log (a + n) -|-
+ (n — |) log n -f a — J (a + M) + J (w).
Faisons croître indéfiniment l'entier w, à cause de la périodicité de la fonction y , le premier membre ne varie pas et reste égal à
\p(a) — xp (0).
Pour avoir la limite du second membre, il suffit de remarquer que, d'après (3),
lira [log r(a-\-n) — log r(n) — a log n] =: 0 (n = 00 )
et, d'après (16),
lim J (a -{- n) = lim J (n) = 0 , (n^ 00)
On obtient ainsi
La fonction xp se réduit donc à une constante que nous désignerons par G, et nous obtenons ainsi
(18) .... logr(a) = (a — |)loga — a + C + J(a).
6. Il nous reste à obtenir la valeur de la constante C. Remarquons d'abord que la valeur de C est évidemment réelle. Cela
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a). 217
étant, remplaçons, dans la formule (18), a par ui, u étant réel et positif, et faisons croître indéfiniment u. C étant réel , on pourra négliger la partie purement imaginaire et l'on aura
C =lim. partie réelle de [log r(ui) — (ui — ^) log (ui) — J (ui)].
Or nous verrons bientôt que
(19) lira J (Mi) = 0,
et, d'autre part, on a
p. r. (Mi — i) log (Mi) = p. r. (Mi — ^) flog m -f ^ il = — i log m — ^^
et, d'après la formule (5),
p. r, log r (M i) = ^ log (2 7i) — I log M — I log («'' » — e-""); donc
C = lim J log (2 71) — J log (1 — e-2« ») = | log (2 ji)
et, définitivement,
(20) . . . logr(a) = (tt — J)loga — a + |log(27t) + J(a).
C'est la formule que nous voulions obtenir et qui servira de point de départ à notre déduction du développement de log r (a). Elle ne se distingue de la formule qu'on emploie ordinairement dans ce but que par la forme sous laquelle s'est présentée la fonction J (a).
En effet, la formule (10)
Pix) x-\-a
dx
est valable dans tout le plan et admet seulement comme coupure la partie négative de l'axe des abscisses , tandis que les formules de Binet
/oo/ 1 1 1 \ p — ax
T, , 1 f^ adx , / 1 \
supposent essentiellement que la partie réelle de a soit positive.
218 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F («).
Cette formule (10) est due à M. Bourguet qui l'a obtenue sous une forme légèrement différente dans un travail inédit, mais dont nous avons eu connaissance.
M. Bourguet obtient , en effet , une formule qui , après un changement de variable , peut s'écrire
-, , v~* f dx s\.ïi2njix
^ J x + a nx
0 0 "+' et, comme on a, pour toute valeur réelle de x,
la relation avec la formule (10) est évidente.
7. La formule (16) montre que J (a) tend vers zéro lorsque a croît indéfiniment d'une certaine manière.
Il est important de généraliser ce résultat. Pour cela , reprenons la formule (13)
j(a) = Vf -*~-5- dx,
et remarquons que
/ — f j — dx= — f r— dx-\- j — -. — dx =
= / — f 1~ dx— \ — , , , dx ;
donc (24)
ou
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F (o). 219
Supposons d'abord a réel et positif, J (a) l'est aussi , et , à cause de
on aura
u \^^ [^ 2{i-xfdx 1 y L .
oi («4-«)(a + " + l)~12^ (a + »)(a + « + l)'
Prenons maintenant , dans la formule (25) ,
R étant positif, et l'argument 9 compris entre les limites ± ji. Il viendra évidemment
modJ(Re.«)<2:i mod(R..e .n + ^KReio.
mod(Re'9 + n + a;) (Re'9 + n+ 1 — a;)
Nous remarquons ici que n-{- x et n-\- 1 — x sont réels et positifs. Or , 6 étant réel et positif, on a
mod (Re'9 + 6) = K(R + 6)2 cos^ | 0 + (R ft)2 sin^ | 6, mod (Re'9 + 6) >(R + 6) cos ^ fl,
donc
c'est-à-dire
modJ(Re'<')<^-^2^J(R) et, à plus forte raison , (26) modJ(Re'8)< ^
12 R cos2 1 0
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F (a).
On voit par là que, lorsque a croît indéfiniment, J(a) tend, en général , vers zéro. Il ne pourrait y avoir exception que dans le cas où l'argument 0 tendrait en même temps vers la limite -f- ^ ou vers — n. La formule (19) que nous avons admise provisoirement est aussi une conséquence immédiate de la limitation que nous venons d'obtenir.
8. Considérons maintenant le développement de J(a) suivant les puissances descendantes de a. Si dans la formule (10), nous remplaçons F {x) par son développement en série trigonométrique (23), on aura
T/ N n /^r* sin 2n7ix
dx
et, en intégrant par parties 2k — l ou 2k fois, on obtient
B, , ■ , ,v,. . Bjfc
le terme complémentaire Jft(a) se présentant sous l'une des deux formes suivantes :
Ma) = i-iYA.2...i2k-^)f\±,;^j^, J.(a) = (-1)M.2...(2.) r[É..ÏT^
dx
dx (¥+a)2*+i'
Les nombres de Bernoulli s'introduisent dans la formule (27), par suite de la relation
Posons
on a évidemment
siD2nna;
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a). 221
et la seconde des formules (28) peut s'écrire
Ou encore
(30) . . . • J*(«)=/P*(^)è(a-+^rbp+ï^^-
Si l'on remarque que
on déduit facilement de (30) cette formule
(31) Jk{a) = f Pa (a;) Y* \-, — j j — rôxqn — ? — j j— i ^2ftTi ^^•
Ces diverses formules présentent la plus grande analogie avec les formules (10), (18), (24). Il faut remarquer, en effet, que dans l'intervalle 0<a;< 1, Fk{x) est un polynôme du degré 2â;-|- 1 en a; dont l'expression est bien connue.
Il est clair aussi que
Ma) - J.(a + 1)=/ (-^ l'^^l^, dx;
la valeur explicite de cette différence se déduit des formules (27) et (15).
9. Nous allons chercher maintenant une limite supérieure pour le module de Jk(Re'% La première des formules (28) conduit facilement au but : il suffit de remarquer que
1 9 (ok nV* C03 2w^a; ^ 1 . 2. . .(2A:— 1) -A 1 B*
et
mod (a; + Re'fl) >(a; + R) cos I 0
222 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log P (a).
pour obtenir immédiatement
(32) . . . modJ.{R6i'')<^^-^^^^^^^:rT(9éci0)".
Pour obtenir une autre limitation , nous déduisons de la seconde des formules (28) par une intégration par parties
(33) J. (a) = (- DM . 2 . . . (2 A 4- l)ft ^^nW^^^^ (S+f^^'
d'oil l'on conclut
. 1.2...(2^+1) r Y^ l — cos2nnx dx
c'est-à-dire
mod Jft (R c'9) < (cog^g)2t.r2 mod J* (R).
Mais, lorsque a est réel et positif =R, la formule (33) montre que Jjfc(R) a le signe de (—1)*, et, à cause de
Jft(R) et Jfc4.i(R) ayant signe contraire, il est clair que
(34) . . . ^oaj,iUe^e)^^-^^^^^^^^^^^±^.
Pour A; = 0, on retrouve la limitation (26).
On voit que, R croissant indéfiniment tandis que l'argument 0 reste constant, on a
limR°Jfc(Rc''8) = 0, tant que le nombre fixe a est inférieur à 2A; + 1.
SUR LE DEVELOPPEMENT DE log T (a). ^23
10. Soit f{z) une fonction uniforme dans cette partie du plan où la partie réelle de z est ^ 0. Supposons de plus que f{z) n'ait ni pôles ni points singuliers essentiels dans ce domaine. Alors on aura , la partie réelle de a étant positive ,
l'intégrale étant prise sur un contour C se composant de la partie de l'axe imaginaire de — Ri à + I^i et du demi- cercle obtenu en faisant
varier 0 de -|- ^ ^ ~ 2 *^^"^ l'expression s = Re«^. On doit supposer
ici que le rayon R soit assez grand pour que le point a soit compris à l'intérieur de C. Le point — a étant évidemment en dehors de C, on a
et, par suite,
f^dz
,37) ... ,„ = Jj/4®,.,,
Supposons qu'on ait
(38) . . Iim/'mod^^2Ua = lim^2 /'mod/'(2)d2 = 0, R=oo;
l'intégrale étant prise sur le demi-cercle de rayon R, la formule (37) donnera, en faisant croître indéfiniment R,
la variable u parcourant les valeurs réelles de — oo à + oo .
Dans le cas où la fonction f{z) prend des valeurs conjuguées pour des valeurs conjuguées de la variable, cette formule se simplifie encore, et, en posant
(39) f{ui) = a-\-^i,
224 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).
on aura
^ r°° a Si
m na)=~f ^j—^du.-
Les formules (35) et (86) donnent encore , par soustraction ,
-, , 1 /• zf{z) , f{a) = —^ / 0 ^di ni J a^ — z^
d'où l'on déduira par un raisonnement semblable 41 f(a) = -±l -2-r— adw;
mais ici il faudra remplacer la condition (38) par celle-ci,
(42) . . \\m [moA^^^^dz = \\ra~[mod^f{z)dz = 0, R = oo,
l'intégrale étant prise encore sur le demi- cercle de rayon R.
Les formules (40) et (41) montrent comment on peut calculer (sous certaines conditions) la valeur de
f{a) partie réelle de a>0,
en connaissant seulement soit la partie réelle , soit la partie purement imaginaire de f{ui). Elles présentent une certaine analogie avec la formule qui permet de calculer la valeur d'une fonction u de deux variables réelles satisfaisant à
en tout point à l'intérieur d'un cercle , si l'on connaît la valeur de m sur le contour du cercle.
La fonction f{z)^=\ogz satisfait à la condition (38): toutefois elle devient infinie pour 0:=O; mais, l'intégrale qui figure dans la formule (40) conservant un sens , il est facile de voir que cette formule
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log P (a). 225
reste applicable dans ce cas. Il en sera de même de la fonction J (z) , qui satisfait évidemment à la condition (38) d'après la limitation (26) , la circonstance que, pour 2 = 0, J (e) devient infini comme \ogz n'empêchant pas la formule (40) de rester applicable. A l'aide des formules (20) et (5), on trouve , dans ce cas,
donc
C'est la formule de Binet , que nous avons rappelée plus haut (22).
11. Pour montrer une autre application de la formule (40), nous considérons la fonction
b étant une quantité réelle, et nous remarquons que le module de cette fonction pour z = iu (m étant réel) s'exprime par les fonctions élémentaires. En effet , ce module est égal à
Vr{b-\-iu) r(b — iu) r{l — b-{-iu)r{l - b — iu); mais
r{b-{-iu)r{l~b — iu)=--. #-,— V
r (b — iu) r n — b 4- iu) = -. — ^ — — , ^ 'V ' '' am n{b — tu)
d'où l'on conclut la valeur du module
Ve^nu | e-2;rw — 2 COS 2671
Cela étant, on s'assure facilement que l'on peut prendre dans la formule (40)
n.) = \ log ~^i,lj^^ — '- - \ log z ,
226 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (o).
mais il est clair qu'il faudra supposer
pour que la fonction f{z) reste finie tant que la partie réelle de z est positive. En effet, en introduisant la fonction J(2), on voit que f{z) tend vers zéro lorsque z croît indéfiniment (la partie réelle de z restant toujours ^0), en sorte que la condition (38) se trouve satisfaite. Un calcul facile donne d'ailleurs
a = — i log — ^
donc
log
(en u — g„«y r (a + 6) r (a + 1 — 5)
1 f^ adu
11 1 r" aau ,
e^jtu | g— 2;ru — 2cos267i
(e^f" — g— Ji«)'
