Il est clair que la fonction

. e^nu -}- e-2:TM — 2 008 2b}t

^ (gnw—g—ituY

reste toujours positive; en écrivant donc

ft 1 1/2 w* 7/2* — 2 .,2k

a2 + M2 a a^^aô ■■^^ '> a^k-i^K ^ o2*-i(a2+ m»)

et supposant a réel et positif, on obtiendra pour l'intégrale qui figure au second membre de (43) un développement suivant les puissances descendantes de a , qui jouira exactement des mêmes propriétés que la série de Stirling.

Nous écrivons ce développement ainsi

L y2fe-i(6) I p

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log P (a). 227

en posant

e^nn ^ g-2;ru — 2C0S2 6rt

(gjru — g— :»«)2

du.

La fonction <p2„ + i{b) n'est autre chose que le polynôme de Bernoulli, qu'on peut définir, soit par le développement

Ç^^^=b + <pAb)x+<p,{b)^^ + ... + n{b)^-^ + ....

soit par la condition que, pour 6 entier et positif,

La formule (45) montre clairement que q)2n+\{b) a constamment le signe de ( — 1)" + ^ dans l'intervalle (0, 1), et est croissante dans l'intervalle (0, ^), tandis que

C'est à M. Hermite qu'est due l'idée de faire dépendre les propriétés des polynômes de Bernoulli de leurs expressions par des intégrales définies. La formule qu'il a obtenue dans le tome 79 du Journal de Borchardt

9'2n+i (b) = { — 1)" + ' 4 sm^bn / ' -z 1 „ ^ï~

se déduit de (45) par une intégration par parties. Nous remarquons encore que la série infinie

est divergente. C'est là une conséquence de ce fait , facile à démontrer, qu'en posant

c„ = / u^f{u)du,

228 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log F (a).

/■(m) étant une fonction qui reste toujours positive, on a

lim?!i+i = + oo.

Cn ' .