Considérons maintenant la fonction

6 étant une quantité réelle ; nous remarquons que l'on obtient facilement (à un multiple de n près) l'argument de cette fonction dans le cas où « = ui. En effet , soit

r(6-fiM) r{6 — tM)

r(i-64-iM) ^ ' r(i — 6-iM) ^* '

VlhX.iiL\Vl\ —h — iu]

r{b-\-iu)r{l — b — iu) r{b — iu)r{l — b + iu)

c'est-à-dire

8in7r(6 — iu) sin n{b-f- iu)

On voit que a est égal à l'argument de

,. . ^ . . /e:T«-|.g-;i«\ /g:Tt4 g-au\

810 71(0 — î«)^sino7ii '— 1 — icoabnl 1-

Supposons 0 < 6 < 1, en sorte que sin bn est positif, on aura

igJlU g— 7tU I i COt bn} ,

l'arc tang étant pris entre ± ^ ; l'entier k est nul si l'on veut que a

s'annule en même temps que m.

Cela étant, posons

ri'') = i log riz+t-b) - (^ - *) log '

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).

dans la formule (41). On voit facilement que sur le demi-cercle de

rayon R le module de f{e) devient très petit et s'annule pour R = c» :

donc la condition (42) se trouve satisfaite. Un calcul facile donne ensuite

Ignu - g—7iu \

2Si = {^ — b)n— arc tang („^., i ^^„ cot6:T) ,

ou,

e;ru j g— ;iu e-2nr«gjn(267i)

1 — e-23iucos(267t)

§!,z=\ arc tang

si l'on remarque que

( I — b)n^= arc tang (cot 6 n) , et, par conséquent,

'«gr-èTT^6) = (^-iHoga-

1 /■* udu — / -^. .i arc tang

^«sin [2bn)

1 — e-2jiucos(267i).

(Og6gl).

L'arc tang qui figure dans cette formule ayant un signe constant , qui est celui de sin {2bn), on voit que l'on peut déduire encore de cette formule un "développement en série qui jouira des mêmes propriétés que la série de Stirling

où

2d' 4a* ••■ 2Aa2* *'

nn{b){-\)

\\n- 1 /-oo

1 \n — i z-oo

arc tang

e-2jtugin (2b n)

1 — e-2:îtucOS(267l)

du.

Ici <p2n(b) est le polynôme de BernouUi, tel que nous l'avons défini précédemment. On voit que

et que dans l'intervalle (0, |), ç'2n(6) a le signe de (— 1)"-^

230 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log T (a).

14. On peut se convaincre facilement que les fonctions <p qui figurent dans les formules (44), (45), (47) et (48) sont les polynômes de BernouUi. En effet, la somme de (44) et (47) donne

(49) r(a + fe) <p,ib) <p,(b) <p,{b)

Or supposons 6 entier et positif; on a