r,o n In J- ^'i in A- h — ^\ -^ h]r,a n -L

'{a) ou

logî^^±^^ = loga(a+l)...(a4-6-l)=61oga+2^1og(l + ^)

et l'on a précisément

On voit aussi, par ce raisonnement, que, lorsque b est entier et positif, le développement (49) est convergent sous la condition

moda>6 — 1.

De même , si b est entier et négatif, on verra que ce développement est convergent sous la condition

mod a > — b.

Mais , pour toute autre valeur de 6 , la série (49) est toujours divergente.

(Paris, C.-R. Acad. Sci. , iio, 1890, 267 — 270.)

Sur la fonction exponentielle.

(Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.)

Après quelques tentatives, voici la démonstration à laquelle je me suis arrêté pour prouver l'impossibilité d'une relation de la forme

(1) N + 6«Ni + e6N2+... + e''N„=:0,

a, b, . . . , h étant des nombres entiers, ainsi que les coefficients N, Nj,

Soit

F {z) = zf*{3 — a)/^+*i {3 — 6)/'+*2. . . {3 — /i)/«+*H

un polynôme de degré

M = (w + 1)/^ 4- A, + A2 + • • ■ + An, à coefficients entiers ; ju est l'entier auquel on donnera plus tard une valeur suffisamment grande; k^, k^, .. ., /c„ sont des entiers fixes: on a, du reste, kp = 0 ou =1. J'indiquerai plus loin leurs valeurs qui dépendent uniquement de a, b , . . . , h; Nj, . . . , N„.

Je n'ai maintenant qu'à reproduire , avec de très légères modifications, vos formules

f e-'^'F {z)dz = § (0) — e-^'S{b),