En employant maintenant l'identité

1— M + i; i^v^(\+vf on a évidemment

P-i / Îï+W^ Vûv=! îT+v)^] " '' ''

rœr(fe+|) r(A-fi)

et il vient

(74)J(aO = e»)/2i;,[l+r^^„ + r4

(l—îl+V) Vu

C'est cette expression du terme complémentaire, sous forme d'intégrale double singulière, qui va nous permettre de résoudre avec approximation l'équation transcendante Rn = 0.

28. Nous posons 2 a =:«-}"'? ^^ nous développons R» suivant les puissances descendantes de n. L'intégrale

Vuv

se décompose naturellement en deux parties P et Q, que nous allons considérer séparément.

Dans la première partie P , qui est positive , on a

1 — u-\- v^e, dans la seconde partie négative Q ,

La fonction yj.' devient maximum pour m^ 1, v = 0, et l'on ob-

Fig. 6.

tient la partie principale de P en intégrant seulement sur cette partie du champ d'intégration qui forme le voisinage du point A. Toutefois

à cause de la ligne de discontinuité AM , il faut y ajouter une bande le long de cette ligne AM. Il en est de môme évidemment pour la partie Q, et il faudrait donc évaluer P et Q en étendant l'intégration sur l'aire indiquée dans la Fig. 6; mais, au lieu de cela, nous intégrons d'abord seulement sur une aire dont la forme est indiquée dans la Fig. 7.

Fig. 7.

Nous négligeons donc de continuer indéfiniment la bande le long de la ligne de discontinuité. Nous verrons plus tard que ce procédé est légitime.

29. L'évaluation de l'intégrale P, étendue sur l'aire indiquée, s'obtient par un changement de variables.

Nous définissons d'abord une fonction 9? (x) pour des valeurs positives de X par les relations

en supposant que t varie de 0 à 1. La fonction 9? {x) est positive et constamment croissante, <39(0) = 0, 99(00)=!. Pour des valeurs suffisamment petites de x, on peut développer 99 (x) suivant les puissances ascendentes des x; nous avons déjà trouvé (n" 2)

Nous introduisons maintenant, dans l'intégrale P, les nouvelles variables x, y, en posant

On voit d'abord que le long de AM (Fig. 7) x est constant et infiniment petit, tandis que y varie de 0 à oo. Ensuite, d'après la définition de 95(3;), on voit que, pour î;=:0, on a aussi 2/ = 0, et, le long de OA, X varie de 00 à 0. Nous avons donc seulement à nous occuper de cette partie de l'intégrale qui correspond à de petites valeurs de a; et de ?/ ; mais, pour des valeurs suffisamment petites de x et de «/, on peut développer M et r; suivant les puissances croissantes de a; et de ?/; ces développements ne contiennent évidemment que les puissances paires de y. En éliminant v, on a

Me~" = [m -)- ?^ (^)] 6~^~'^'^^'- Le premier terme du développement de u étant 1, on a

u=\-^ax^^a?^yf-^b3?^exy'-'^...,

et l'on détermine sans difficulté les coefficients a, ^, y, ... par la méthode des coefficients indéterminés. Le développement de v se trouve ensuite à l'aide de la relation t; = ;< — 1 -(- 99 (x). On obtient ainsi

u = \ — V2x-j-^x^-{-y'^ — ^V2a^-{-V2xy^ -..., v = y'-[l -\-V2 X + ^ x^ + ^V2 a^ —V2 xy^ + . . .].

Il importe surtout de remarquer que tous les termes de v sont divisibles par y^, car nous avons observé déjà que v et y s'annulent en même temps. On conclut des développements précédents

Vu = l-^V2x + -^^x'' + ^y^^-{-^V2a? + iV2xy^ + ...,

Vv = y [1 -j-lV2x-\- \^ x^ -\- ^V2 X? — \V2 xf- + ■ ■ ]■

A cause de u=zv -\-\ — <p (x) , on a

du dv dcp

dx dx dx'

du dv

dy~ dy

du dv du dv dv dcp

dy dx dx dy dy dx'

en sorte qu'il vient

fue-'^\" e""*?" du dv

l + vjl — u + v Vu

1^ = 2 e -2« /" /"e-'X^'+y') T dx di

T = e >? [»' <^' -"] f~ log cp (x) 4- {yv) ^ dx "^ '^' ' dy^ 'Vu

et , par le développement de T ,

J J [l-\-v) 1— M-fi; Vuv = e-2<» /" /'e-"(^'+!'') — [Sars »'■«/*] da;dj/.

L'intégration s'étend de a; = « fl et de î/ = 0 jusqu'à certaines valeurs positives de a; et de y, que nous pouvons déterminer maintenant par la condition que la série X Ors x^ y' soit absolument convergente. Il

Fig. 8.

n'est pas même nécessaire d'étendre le champ d'intégration aussi loin que possible, et il reste un grand arbitraire dans cette détermination. La seule chose essentielle à remarquer , c'est que cette détermination ne dépend en aucune façon de n. Les coefficients Ors sont des polynômes en T) et ars=0 lorsque s est impair (Fig. 8).

30. En traitant d'une manière analogue l'intégrale Q, nous définissons d'abord une fonction gsj (x) pour les valeurs positives de l'argu-

ment en posant

<e-' = e-i-^', t — l = (pi{x).

t variant de 1 à oo . Puis nous posons

Le long de AM (Fig. 7) x est positif infiniment petit , y varie de 0 à 00. Le long de AU, y = 0 et x varie de 0 à oo. En achevant le calcul comme tout à l'heure , il vient

r ffue^V" e"'?" du dv ( = — Ê-2<« f /"e-»(^+»') ~ [E (— l)r ar.^x"" «/'] dx dy.

L'intégration s'étend encore de a;:=e^^, 2/ = 0 jusqu'à certaines valeurs positives de x et de y. Nous pouvons maintenant , dans les formules (76) et (77), étendre l'intégration jusqu'aux mêmes limites supérieures de x et de y. En réunissant les intégrales , les parties qui deviennent infinies pour « = 0 disparaissent , et il vient

Dans le second membre, l'intégrale

f fe-«^^'+y')x^''y^'dxd7j ne diffère de

r Te-'^^^^+y^x^'y'^'dxdy

que par une quantité qui converge vers zéro plus rapidement qu'aucune

puissance négative de n, et nous obtenons enfin le développement cherché

/Tox /•*/•"/««? -«\" c-''" dudv n „ / ,a3,o + ai,2| \

Nous n'avons pas intégré , il est vrai , le long de toute la ligne de discontinuité ; mais , comme le résultat auquel nous arrivons reste le même en changeant dans une certaine mesure les limites supérieures de a; et de î/, on voit par là même que les parties un peu éloignées de A de la ligne de discontinuité n'ajoutent à l'intégrale que des parties qu'on doit négliger tant qu'il ne s'agit que d'un développement suivant les puissances descendantes de n.

31. En exécutant les calculs que nous venons de décrire, nous avons trouvé

et de là nous concluons la résolution approchée de l'équation E„ =: 0 par l'une ou l'autre des formules

^ 3240 a Pour avoir une idée de l'approximation obtenue , nous avons calculé

la racine de l'équation

pour n = \, 2, 3, 4.

Voici les résultats :

Racine de R„ r= 0.

Valeur approximative d'après (80).

Erreur.

Pour de plus grandes valeurs de n, l'erreur diminue encore, et les formules (80), (81) suffisent pleinement à notre but.

Riemann , en donnant la série semi-convergente, écrivait

ô(ai)-t ^2^^ 2^ 1.2. ..«(8a)» '

et il ajoutait qu'on ne peut calculer ainsi J (ai) qu'en négligeant des parties de l'ordre g-^a vis-à-vis de l'unité. Le résultat auquel nous sommes arrivé confirme et précise ces indications.

Etude de la fonction P (a) = 'S^ -^

32. Nous allons étudier maintenant à notre point de vue le développement en série semi-convergente donné en 1861 par M. Schlomilch de la fonction

(Zeitschrift fur Mathem. und Physik , t. VI).

En suivant d'abord l'analyse de M. Schlomilch , nous partirons de ces formules

■" sinmw

(82) • . • • j 7^.-^rn'^" = i +

,„. /■"' 1 — cou mu (lu du , , 1 , /i „A 1 ,

(83) ■ ■ -J — '^^,,^~^^ -- = im+llog{l-e-''')—^\ogm,

dont la première se trouve dans les Exercices de Calcul intégral de Legendre (t. II, p. 189). On peut l'obtenir sans difficulté à l'aide du développement

La formule (83) se déduit de (82) par une intégration par rapport à m.

En remplaçant m par — , — , . • • , — , on déduit de (82)

Cl a et

,/•'" du „/.u,.2u, , . 2nu\

■+■ / — r 2 sm h sin 1- . . . + sin )

' J e^''" — 1 Va a ' ' a

et

„/ . M , , . 2nu\ . 2nu , /, 2nu\ ^ u

2 sin \- . . . + sin = sin h U — cos cot^r —

En ajoutant à cette équation celle-ci, qui est une conséquence de (83),

2nu

2„\ i 1 — COS

0 = — alog2?i4-n-falogo + alogil— e~ V — 2a/ — 2nu \ ~^'

on obtient

2^ ^ =0(^1+ 2^ + ... + — — log2nj + a loga + alogU — e »j

/2nu /2 a ^ M \ a , cot^r- — du.

En faisant croître indéfiniment m, l'intégrale

du . 2nu

g2,iu i

(^ du . 2n\

converge vers \ , et l'on obtient

(84) P(a) = a(loga + 6) + i-J^,

2nu

/ /2a .u\ a , Jn=/ cotp— — du

ou

/oc\ T /•°°/2 .M\l — C08 2WM,

(85) .... . J„ = a cot-s- — du.

C'est en développant — — cot „ , suivant les puissances croissantes

de M, que M. SchlOmilch a d'abord obtenu cette série semi- convergente remarquable

(86) . . Jcc = 272!^ + 474-!â3 + ' • ' + 2 h . (2k) ! a2n-i + I^«-

Mais il s'est glissé une erreur dans cette analyse, et le résultat obtenu par M. Schlomilch , que R„ ne surpasserait jamais en valeur absolue -n Tn + i, est nécessairement inexacte d'après les remarques que

nous avons développées dans l'Introduction.

Dans le Tome II de son Cours d'Analyse, M. Schlomilch est revenu sur cette série, en la rattachant cette fois à la formule sommatoire de Maclaurin , il arrive à ce résultat que la valeur absolue de R„ ne peut surpasser

BnB„ + i ^(^, 1 \ 2nBn+^ 1^ Ijfi , ^ \ 1.2...(2n)a2»U '''47i2a2J— B„ a\&^^n^él

33. Pour discuter cette série à notre point de vue , nous nous servirons de cette formule

Nous devons indiquer d'abord comment on peut passer de la formule (85) à la formule (87).

A cause de

— — cot ^— 2^ ^^2^2 m2 .

on obtient d'abord

r" 4aMdM 1 — co82nM

■^ /" ^au au

,2 g2jrou j

OU

,-. - •^-A f'^A^avdv 1 — cos 4 Jinî

^^1 ^""—l^j T^^2- ^i^rav-^

Maintenant on a

/■" 4:avdv 1 — cos^ 71 nrv r^-^ . r°° . /"i+«

et , si nous posons pour abréger 4:nr = b, Ati^ ra^c, '•T^+e iav dv 1 — cosnbv

= / 4a — (l — coa nbu)

La fonction

ia

lj{-U

:(! + «) il

est finie et con-

2 — i< t"*!-»*— 1 2 + Me«(i+») — 1, tinue dans le voisinage de m^O, et, en appelant M sa valeur pour une certaine valeur de u comprise entre 0 et e, nous avons

f^' iav 1 — cos in nrv , r^"^ , /"^ 1 ,r / sin i n nre\

En faisant croître n indéfiniment, les intégrales

ri-e iav dv COS471 nrv . r'^ iav dv coséTi nrv

J 1 — î/2 g4jr"roî) 1 J 1 — V^ ^iii'rav -j^

convergent vers zéro ; donc

r^ Aittv dv 1 — cos 4 71 « r t;

r' iav dv i — cos in nr Lim / -T s —5

/-i-séa^dv 1 ./"^iavdv 1 .^

J 1 — î)2 g4jt*rot! 1 J 1 — l/^ g4jr"rar j "*" '

et, en faisant tendre vers zéro e,

/■°° 4 a V d « 1 — 008 An nrv , f^ iav dv 1

L'équation (88) conduit donc à cette expression de J^,

/"" Aav dv /-^ 1 \ f^iav dv I 1

34. En faisant usage maintenant, dans la formule (87), de l'identité

nous retrouvons la série semi-convergente (86) avec cette expression du terme complémentaire

(89) .... R„ = v.p.j -~^Yz::^^^(,^~J-

En effet, on trouve

en substituant pour la fonction P la série qui sert de définition et en faisant usage de la relation connue

« „2ft-l£jj, g 1

35. L'expression du terme complémentaire que nous venons d'obtenir donne facilement la résolution approchée de R„ = 0. On a

\én^ avl ' '

/■(w) désignant le nombre des diviseurs de n. Mais , quand il s'agit de développer la racine de R„ = 0, suivant les puissances descendantes de n, on ne doit retenir que le premier terme e'^*"'"''. Après les explications du n" 16, où se présentait un cas analogue à l'occasion du développement de log r (ai) , il ne semble pas nécessaire d'insister plus longtemps sur ce point, car cela reviendrait à répéter à peu près ce que nous avons dit là. La résolution approchée de

se déduit aussitôt du résultat du n" 8 , par un simple changement de lettres , et il vient

et la valeur approchée de R„ , en posant 2n-' a^=n-{- tj,

On peut, du reste, négliger le petit ternie n^ogn' 2 dans (93), et

prendre ainsi simplement 2n^a — y^g pour valeur approchée de la racine de R„ = 0.

36. Les expressions précédentes montrent l'extrême approximation que la série semi-convergente permet d'obtenir. L'ordre d'approxima-

tion est e~*''''' 1/ — , et déjà, pour a = 1, l'erreur ne porterait que sur

la dix-septième décimale. Aussi nous prenons pour exemple cette valeur beaucoup plus petite a=^. On trouve N = 4,52: il faut donc prendre quatre termes et ajouter encore le cinquième terme , multiplié par une fraction l approximativement égale à 0,52. On obtient ainsi

et, pour X=z 0,52,

le valeur exacte est

L'approximation avec laquelle nous avons résolu l'équation R„ = 0 ne laisse rien à désirer.

(Acta Math., Stockholm, 9, 1886, 167 — 176.)

Note sur un développement de l'intégrale / e'^dx.

Lorsque la fonction f{x) devient infinie pour une valeur x=:c comprise entre a et 6, cette circonstance peut ôter toute signification précise à l'intégrale

rb J f{^)'

) dx.

Comme on sait, Cauchy a introduit dans ce cas la considération de l'expression

r~'f{x)dx-\- ( f{x)dx.

Il peut arriver que cette expression tend vers une limite déterminée lorsque la quantité positive s tend vers zéro , cette limite est alors appelée par Cauchy la valeur principale de l'intégrale

v.Tp. f f{x)dz = \iïn f f{x)dx-\-j f{x)dx.

Cette extension de la conception d'une intégrale définie n'est pas généralement admise , on l'a souvent rejetée à cause de sa nature trop arbitraire ou artificielle.

Riemann, dans un mémoire célèbre (Werke, p. 226) s'exprimait de la manière suivante :

„Dans certaines recherches particulières , d'autres déterminations de Cauchy sur la conception d'une intégrale définie dans les cas où celle-ci n'existe pas d'après sa définition fondamentale, peuvent être utiles, mais elles ne sont pas généralement admises, leur nature trop arbitraire ne s'y prêtant guère d'ailleurs."

La valeur principale d'une intégrale étant une quantité nettement définie, il semble que l'admissibilité d'une telle idée doive dépendre surtout de l'utilité qu'elle peut avoir. Nous croyons que les développements suivants montrent clairement, par un exemple, que les „recherches particulières" oii la conception de Cauchy est de la plus grande utilité (ou plutôt nécessaire , si nous ne nous trompons pas) , ne manquent pas.