M=:ABC...L

les facteurs A, B, C, . . . , L étant premiers entre eux.

Il est clair que chaque racine de la congruence (1) satisfera aussi aux congruences

if{x)~0 (modA), /(a;)-0 (raodB), »

f{x)^0 (modL).

Donc, si une de ces dernières congruences n'admet pas de racines, il en est de même de la congruence (1).

Soient a une racine de f{x)^^0 (mod A) , /3 une racine de f{x)^iO (mod B) , etc. , enfin k une racine de f{x) e^ 0 (mod L).

Alors on saura trouver toujours un nombre t, satisfaisant aux congruences

f = a (mod A) , <EE/S (modB),

t^mX (mod L) ,

et ce nombre t est parfaitement déterminé aux multiples de M près. Mais il est clair qu'on aura

r(.t) = 0 (modA), /'(0 = 0 (modB), .... /"(O^O (modL), donc aussi /"(<) es 0 (mod M).

On conclut de là que le nombre des solutions de la congruence (1) est égal au produit des nombres des solutions des congruences (2).

On peut évidemment prendre pour A, B, . . . , L des puissances de nombres premiers.

18. On comprend bien , d'après ce qui précède, que dans la théorie des congruences de degré supérieur , on s'est surtout occupé des cas où le module est un nombre premier ou une puissance de nombre premier. On ne connaît presque aucun théorème général sur les congruences par rapport à un module composé.

Ici , où il s'agit seulement de donner les premiers éléments d'une théorie que nous devons développer plus tard, nous nous bornerons à considérer le cas d'un module premier. Lagrange a obtenu dans ce cas quelques propositions très simples , mais fondamentales.

Considérons donc la congruence

f{x) = 0 (mod p) ,

p étant un nombre premier. Le degré n de cette congruence est le degré de la plus haute puissance de a; qui figure dans/"(2;), avec un coefficient non divisible par p. Du reste , il n'y aurait aucun inconvénient à supposer ce coefficient égal à 1, car, s'il est a, on pourra toujours multiplier la congruence par un nombre b tel que ab^^l (modp) La congruence obtenue est évidemment équivalente à la congruence proposée.

Soit maintenant x = a une racine de la congruence. En divisant f (x) par X — a, on aura

/i {x) étant un polynôme du degré n — là coefficients entiers. La congruence donnée peut donc s'écrire

(a;-a)/i(a;)-f /•(a) = 0 (modp),

ou bien, puisque par hypothèse f{a) est divisible par p,

{x — a) /i (x) = 0 (mod p).

Si la congruence proposée admet encore d'autres racines ^ , y , . . . , on doit avoir

donc /^i (/S) ES 0, /■i(j') = 0, etc., puisque, par hypothèse, /î — a, y — a

ne sont pas divisibles par p. On voit donc que ces racines /5, y, ... sont aussi racines de la congruence

qui est du degré n — 1.

La congruence du premier degré admet toujours une racine : on peut donc conclure qu'une congruence du second degré admet tout au plus 2 racines, une congruence du troisième degré tout au plus 3 racines; généralement on peut énoncer le

Théorème IV. — Une congruence de degré n par rapport à un module premier admet tout au plus n racines.

Et nous pouvons ajouter encore :

Théorème V. — Les racines de la congruence de degré n

fix) = 0 imoâp) étant a, ^, y, . . . , X, on a identiquement

f(x) = ix — a) {x — p) . . . [x — A) /; (ic) (raod p), /i (x) étant un polynôme en x tel que la congruence

/i(a!) = 0 (modp) n'admet aucune racine.

On en déduit encore facilement le Théorème VI. — Si la congruence de degré n

f{x) = 0 (mod p) admet n racines et qu'on a

f{x)~f^{x)f^(x) (raodp), alors les congruences

/i {x) = Q, /a (x) ~ 0 (raod p) des degrés Wj et Wg , (Wj + "2 ^ w) admettront respectivement Wj et n^ racines.

19. Pour donner, dès à présent, un exemple de la fécondité de ces principes , considérons avec Lagrange le polynôme

(1) x{x -\- V){x-\-2). ..{x-\- p—\)=xP -\- k^xP-'^ -\- k^xP-^ -\- . . .-\- kp-ix.

En changeant z en x-j- l, on aura aussi

Or, il est clair que ces deux polynômes sont congrus entre eux, suivant le module p, que nous supposerons premier car leur différence est

En écrivant donc que les coefficients des mêmes puissances de x sont congrus (mod p) , on a

Ai = Y + Ai (modp),

0=El + A2+A2 + ... + Ap 2+Ap,.

Un remarque ici que les coemcients du binôme y, — j — s" — •••

— j — ^ -, — ^"TT sont tous des entiers divisibles par p : on peut les négliger. La seconde congruence montre alors que Aj = 0 mod p , ensuite la troisième que Aa^O modp, etc. , jusqu'à l'avant-dernière, qui montre queAp 2 = 0. Donc

(2) . . . . Ai = A2 = A3 = . . . EiE Ap 2 = 0 (modp) et la dernière congruence donne ensuite

(3) Ap-i-\-l~0 (raodp).

Si l'on se rappelle la signification de Ap i, on a le Théorème de Wilson , p étant un nombre premier ,