p-l)+l est toujours divisible par p

Ensuite nous avons d'après (1), (2) et (3) la congruence identique

x(x-\- l){x-{-2) ...{x-\-p—\)^E^xP — X (modp). Mais , parmi les p nombres consécutifs x, x-{- 1 , ..., x-{- p — 1, il y en a toujours un divisible par p; donc

XP — X est toujours divisible par p. En supposant x = a non divisible par p, on a le

Théorème de Fermât , a étant un nombre entier non divisible par le nombre premier p,

aP-i — 1

est toujours divisible par p.

Autrement, la congruence a;P-i — l = 0(modp) admet les p — 1 racines l,2,3,...,p — 1.

Le théorème de Fermât est un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres; nous le retrouverons dans le Chapitre IV, où nous traiterons particulièrement des résidus des puissances et de la théorie des congruences binômes.

20. Les systèmes de plusieurs congruences du premier degré à plusieurs inconnues se présentent maintenant naturellement à notre attention, mais nous consacrerons à ce sujet important le Chapitre III tout entier. Ici nous nous bornerons à traiter une question élémentaire et dont on a souvent besoin. La théorie des équations indéterminées est liée évidemment très étroitement à la théorie des congruences; nous discuterons ici l'équation indéterminée

(1) . . . . aia;i4-ff2^2 + «3%+ • ■ • -t-«n + ia;„+i = M,

Oi, Og, . . . , Cn+i et u étant des nombres donnés, Xi, x^, . . . , x„ + i étant des inconnues qui doivent avoir des valeurs entières II est clair d'abord que M doit être divisible par le p. g. c. d.

d = (fll, «2. ...«n + l)

des coefificients a^, a^, . . . , Un+i-

Mais , pour que d ait une valeur déterminée , il faut supposer que les coefficients Oi, Og, . . . , a„+i ne soient pas tous nuls. Ce sera là la

seule restriction à laquelle nous soumettons les données du problème. Maintenant, si u est divisible par d, le problème admet toujours des solutions. Cette proposition est vraie dans le cas w = 1 , et il est très facile , en partant de là , et à l'aide d'une induction , de montrer qu'elle est vraie généralement.

Mais nous suivrons une autre voie qui nous donnera en même temps toutes les solutions du problème. Mais ici une explication est nécessaire, si les valeurs

aîj ^ Oj , a;2 = 02> •■•> S^n + l = On-|-l ,

satisfont à la relation (1) ; de même que les valeurs

ces deux solutions seront considérées comme distinctes si les différences

bk — Ck, k=l, 2, .... n+ 1

ne sont pas toutes nulles. Il importe de bien observer cette convention; ainsi, même dans le cas où o'„ + i = 0, les solutions

^1 -— Oj , X2^^02t •■•! Xn^^Unt Xn-\-l ^^^ On + 1

et

seront considérées comme distinctes, tant que A; n'est pas nul.

Les coefficients Oj, ag, . . . , Un+i n'étant pas tous nuls, on supposera que aj n'est pas nul. On pourra déterminer alors deux nombres a et y satisfaisant à la condition

et ces nombres seront premiers entre eux, en sorte qu'on pourra ensuite déterminer deux nombres fi et ô par la condition

aô — fiy = l.

On pourra prendre du reste ^ =: — 02 : (a^ , 02) , ô ^ -\- a^ : (a^ , a^ ; c'est là une remarque dont nous profiterons tout à l'heure. Posons

Xi = a x!i -\- p x^i X2=yxfi-{-ôx^

d'où )^^ = »^-P^2.

l'équation (1) deviendra

(2) . . (aia2)a/i + 62a^ + a3aî3 + »4^4 + - •• + «n+i^"+i = «-

Il est clair que ces équations (1) et (2) sont équivalentes en ce sens, que si l'une des équations est impossible, l'autre le sera; et que, si l'on connaît une solution de l'une de ces équations , on en déduira une solution de l'autre. A deux solutions distinctes d'une de ces équations correspondent toujours deux solutions également distinctes de l'autre.

Remplaçons maintenant de la même manière les inconnues a^ et 0% dans (2) par deux nouvelles inconnues x'^ et x'r^ . en posant

(«1 , «2) «1 + Og ^1 = (aj , ttg , ffg) ,

«1 ^1 — ft ^1 = 1 , a/i = ai xi' + /îî a;3, oii = ^i o/i — ^\x^,

on obtiendra une transformée encore équivalente à (2) et à (])

(3) . (ai, a2,a3)a;i'4- *2«2 + 63aj3 + «4a;4 + . . ■ + an+ia;„ + i = M.

On peut continuer ainsi, en opérant maintenant sur xj' et ^4, etc. Après n transformations, on aura la transformée équivalente que voici

(4) (ai,02 a„+i)a;r'+ 623^+ 633/3+ 64X4 + ... + 6„+irc;+i = M,

et l'on obtient les expressions de iCj, . . . , a;„+] au moyen de substitutions successives sous la forme

xi = Al éx^ + ai,2a^ + ai,3 a^ + ai,4 xi + • • • + «i.n + i a^n+i , ^ = A2 éx + 02,20^ + 02,3 a/s + «2,4 cci + . . . + a2,„+i a^+i ,

X3 = As xi"' + 03,3 a/3 + fl3,4 a/4 + • • • + fl3.n + l X; + i ,

X4 = A4Xi" +04,4X4 + .. . + a4,„+ix;, + i,

x„4-i = An+ixî"' +a„+i,„^.ix;,+i.

Ces formules donneront toutes les solutions du problème, si l'on prend pour x'"', Xg, Xg, . . . , x;,^i toutes les solutions de (4). Mais on remarque que, si l'on prend pour ^ et ô les valeurs que nous avons

indiquées plus haut, on a 62 = 0. En appliquant donc toujours le même procédé , on aura aussi

Mais alors les solutions de (4) sont en évidence ; il faut évidemment que M soit divisible par d, et l'on obtient toutes les solutions de (4) en prenant icf =:u : d, et en donnant à

aJ2, ^s, . ■ • , a^i + i toutes les valeurs de — 00 à -f- ^'o •

Théorème VII. — On obtient toutes les solutions de l'équation indéterminée (1), et chaque solution , une seule fois, en posant xf ^m : d dans les formules (5) et en faisant parcourir à x'2, ■ ■ . , ai^ + i toutes les valeurs entières de — 00 à + 00 .

On voit sans difficulté qu'en procédant comme nous l'avons indiqué, les coefficients a2,2, 03,3, a„+i,„ + i ont les valeurs suivantes: 02,2 = ai : («1, dé, a3,a = (ai, 02) : (ai,a2, fls),

an + l,n + l =(«1. 02, • • • , Ctn) : («i, 02, ... , «n + i).

21. Cette solution donne lieu à quelques remarques utiles. II est clair qu'en ajoutant les équations (5) après les avoir multipliées par Oi, 02, . . . , ffln + i les coefficients de X2, x'^, . . . , x'„^^, s'annulent. On a ainsi des relations homogènes entre o^, Og. • • • . «n + i. qui déterminent les rapports de ces quantités. En supposant

Xb + 1

= MiXi+M2X2 + ... + M„+iX„ + ,,

on aura

Oi : «2 : «3 : . . . : «n + 1 =: Ml : Mg : M3 : . . . : Mn + ].

Mais il est clair qu'on a

Mi = «2,2 X «3,3 X ... X «n + i,n + i = «i : d;

donc, généralement,

Mft = aft:d, k= l , 2, . . . , n-{- l.

En multipliant donc, par exemple, la dernière ligne horizontale du déterminant D par d, on obtient un déterminant dont les mineurs ont les valeurs Oj , Og , . . . , o» + 1. On voit par là que l'on peut toujours déterminer w lignes de n + 1 nombres entiers telles qu'en ajoutant une (n + l)'»nie ligne et formant le déterminant , les coefficients multipliés dans ce déterminant par les différents termes de la (m -f 1)'®"® ligne, soient des nombres donnés.

C'est là une proposition donnée par M. Hermite (Journal de Crelle, t, 40, p. 264), qui en a fait une application très importante.

22. En cherchant l'expression de xT\ a^, . .., x'n^x conime fonctions linéaires de Xi , a;2 1 • • • > ^» + 1 > on trouve d'abord , à cause de h^ = b.^ = . . . := 6„ + 1 = 0.

(oi , 02 , 03) ici' = Oi aji + 02 a;2 + «3 a=3 .

(«1 , 02 , • • • , »n + 1 ) 4"' = «1 aîi + 02 a;2 + . . . + On + 1 a;„ + 1 ,

et ensuite on reconnaît que les expressions cherchées se présentent sous la forme

xf) = (oi a;i -f 02 a;2 + . . . + o„+i a;„ + i) : d,

a^ = «2,1 031 + «2,2 iC2 ,

a:^ = «3,1 Xi + «3,2 Xfi + 03,3 a;3,

aîn + i = a„ + i,ia;i -|- a„ + i,2a;2 + • • • + a„ + i,„.).iaî, + i.

Le déterminant des fonctions linéaires au second membre est évidemment = 1, comme cela a lieu pour les équations (5), car les déterminants des deux systèmes sont réciproques et en même temps des nombres entiers. Ces déterminants sont donc, tous les deux, soit = +1, soit = — 1 , mais il est facile de voir que c'est la première valeur qui a lieu.

On voit donc que, étant donnés les nombres entiers

on pourra trouver toujours n lignes de n -f- 1 nombres entiers , telles qu'en les ajoutant à la ligne donnée , on obtient un déterminant égal au p, g. c. d. de ttj , Og , . . . , On + 1-

C'est là un résultat dont on a souvent besoin. La question a été posée et résolue par M. Hermite (Journal de Mathématiques appliquées, t XIV, 1849). Nous verrons, dans le Chapitre III, qu'il est extrêmement facile de déduire d'une solution particulière de ce problème toutes les solutions possibles.

23. Il convient de considérer plus particulièrement le cas m = 0.

a^ Xi -f «2 *2 + «3 *3 + • • • + 0 n + 1 a;n + 1 = 0.

Si l'on a m solutions de cette équation

A:i,i Ai,2 A:i,3 ... A;i,„ + i (K^)

h,! ^2,2 ^2,3 ••• A2,n + 1 (Kg) Km,l f(m,2 ^«^,3 •■■ km.n + l (Km)

nous dirons que ces solutions sont indépendantes , lorsque les déterminants de degré m dont les éléments sont puisés dans cette matrice (et que nous appellerons les déterminants de ces solutions) ne sont pas tous nuls. Il est clair qu'un système de solutions indépendantes se

composera tout au plus de n solutions , car, les nombres a^ «g «n + i

n'étant pas tous nuls, le déterminant de w4- 1 solutions est toujours nul. On peut représenter une solution par un simple symbole (Kj) qui représente ainsi m -|- 1 nombres entiers, pris dans un ordre déterminé. On peut déduire des solutions (K{}, (Kg), .... (Km) une nouvelle solution

(Kj /i -j- K2 '2 "1" • • • ~l" ^m fm) ,

dont les éléments sont

ki,rti-\-k2,rk + h,rh-\- .■ ■ -\- l<m,r*m (r = 1 , 2 , . . . , W -f 1).

Nous dirons qu'un système de solutions (K^), (Kg), . . . , (Km) forme un système fondamental de solutions, dans le cas où l'on obtient toutes

S-ia SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.

les solutions de l'équation proposée, et chaque solution , une seule fois, en donnant à t^, f^, • ■ ■ , fm toutes les valeurs entières de — oo et -|- oo dans l'expression

(Kl 'i + K2 /2 + . . . + K„ /„,).

L'existence de ces systèmes fondamentaux ne fait pas de doute; nous avons obtenu déjà (théorème VII) un système fondamental composé de n solutions.

Théorème VIII. — Un système fondamental de solutions se compose nécessairement de n solutions indépendantes.

D'abord, les solutions qui composent un système fondamental (Kj, Kg, ... , Km) sont nécessairement indépendantes. En effet, dans le cas contraire , on sait qu'il existe une relation identique

(Kl «1 + Kg «2 + . . . -f Km «m) = 0 ,

les Ml, Mg, . . . , Mm n'étant pas tous nuls. On obtiendrait donc la solution non seulement en prenant

Il = '2 ^ . • . ^^ tm ^ " 1

mais encore en prenant

i\ ^^^ "1 > '2 ^— - M2 > • • • 1 'm — - Wm )

ce qui est contraire à la définition d'un système fondamental.

Et en second lieu , on a nécessairement m = w. En effet , la supposition de m < n est inadmissible , car il en résulterait que m -\- 1 solutions quelconques ne pourraient jamais être indépendantes. Or, le système fondamental que nous avons obtenu se compose effectivement de n solutions indépendantes , dont les déterminants (d'après le n" 21) sont Ofc : rf (A := 1 , 2 , . . . , n -)- 1 ).

24. On s'assure facilement que n solutions indépendantes quelconques (Kl), (Kg), . . . , (K„) ne forment pas toujours un système fondamental de solutions Car si l'on cherche à représenter une solution quelconque par

(Ki^ + K2/2 + -- -fK„g,

on trouve bien toujours des valeurs déterminées pour /j , ig 1 • • • » 'n, mais ces valeurs seront en général fractionnaires.

Théorème IX. — Un système de n solutions indépendantes, tel que le plus grand commun diviseur de ses déterminants

Ml , Mo , . . . , M„ + 1 est :^ 1 , forme un système fondamental de solutions. En effet , si l'on cherche à représenter par

(Ki'i + K,/2 + .-. + K„M une solution quelconque b^, b.^, .. -, bn + 1, on obtient, pour déterminer t^, f2, ■ • • , tn, un système de ii-\- i équations linéaires, mais ces équations sont compatibles à cause de la relation

On peut donc , pour déterminer les inconnues, faire abstraction d'une quelconque de ces équations , et l'on obtient ainsi v -\- 1 systèmes de n équations dont les déterminants sont Mj, M2, . . , M„ + i La valeur de tk se présentera donc sous la forme

Pn + l

'*~Mi M2 •■■ M„ + i Pi> P2) • • • 1 Pn + l étant des nombres entiers. Mais, si la valeur fraction-

naire irréductible de tk est— , s divisera M^, Mg, . . . , M„ + i. On a donc

s = 1 , c'est àdire tk a une valeur entière et les solutions indépendantes (Kj, K.,, . . . , K„) forment un système fondamental, ce qu'il fallait démontrer. Il est clair que les déterminants de n solutions indépendantes sont proportionnels à a^, ffgi • ■ • > «» + i (voir n". 21).

Théorème X. — Les déterminants d'un système fondamental de solutions sont , abstraction faite des signes ,

a^ : d, 0.2 : rf, • • • . Cn + i : d. Désignons par (A^) , ( Ag) , . . . , (A„) le système fondamental particulier que nous avons obtenu et dont les déterminants sont c/fc : d(A; = 1, 2, ..., n + 1). Alors (Kj) , (Kg) , • . • , (K„) étant un autre système fondamental , on aura

(a^ Kl + a2 K2 -f . . . -f a„ K„) = (Ai) , (/îiKi+/S2K2 + ...+^K„) = (A2),

(Al Kl +A2K2 + . . . + ^,K„) = (A„).

On voit par là qu'un déterminant quelconque Uk'.d, du système fondamental (Aj), (Ag), . . . , (An) est égal au déterminant correspondant du système fondamental (K^) , (Kg) , (K„) multiplié par

On a donc nécessairement A := ± 1.

La liaison des divers systèmes fondamentaux est évidente. On voit que chaque système fondamental fournit une solution du problème que nous avons considéré dans le n" 21.

25. La méthode la plus simple pour obtenir un système fondamental de solutions se fonde sur la remarque suivante.

Supposons que l'un des coefficients Oi, agi • • > Cn i-i soit égal à

d = (fflj , Og , . . . , fln + i) >

par exemple o„ + 1 = d. Alors il est clair que , pour avoir toutes les solutions de l'équation indéterminée

il suffit de donner à arj , iCg , . . . ,Xn des valeurs entières quelconques et à avi+i la valeur (entière aussi) qui en est une conséquence. On a donc, dans ce cas, immédiatement un système fondamental de solutions correspondant à la solution générale

.*'l — Il » "t^ — '2) •••> **'»» — '») .«'n + l — j

Si le cas particulier que nous avons considéré ne se présente pas , soit Oi le coefficient non nul , dont la valeur absolue est la plus petite. En posant

X\ =: X-y -f- Aj aîg -f- «2 •''3 "T~ • • • l~ "n 3^ + 1 »

on aura une équation transformée

010/14-^2^2 + ^3^3 + - •• + *n + ia;„ + 1 = 0. Par un choix convenable de A^, /Cg, ..., An on peut faire en sorte que le

plus petit coefficient de l'équation transformée soit moindre que a^ ou même ne surpasse pas ^ a^. En continuant ainsi , on tombe finalement sur une équation dont un des coefficients est d et dont on peut écrire immédiatement un système fondamental de solutions auquel correspondra un système fondamental de solutions de l'équation proposée. Cette méthode , qui s'applique également à l'équation

«1 a;i + ttg »2 + . • • + 0" + 1 ^n + 1 = " ' se trouve dans un Mémoire posthume d'Euler. Jacobi l'a rappelée à l'attention des géomètres dans un Mémoire également posthume (Journal de Crelle, t. 69, p. 21).

26. Les nombres a, b, c, . . . , l étant premiers entre eux et

m =abc . . . l,

fît TYl Wl

nous savons que le plus grand commun diviseur des nombres—, Vi •••» y

est =: 1. N étant un nombre quelconque , on pourra donc toujours satisfaire à l'équation

c'est-à-dire on aura

N «i I &i I lit

abc.l a'^ b'^'"'^ l

N On verra facilement que la fraction — r — — , peut se mettre d'une

seule manière sous la forme

E étant un entier positif ou négatif et

Ogo2<a, 0^b.2<b, 0^/2<i.

La solution de l'équation indéterminée ax — M«/ = l a été donnée en Europe, pour la première fois, par Bachet de Méziriac (Problèmes plaisants et délectables , qui se font par les nombres. 2® édition ; 1624. 5« édition, par Labosne; 188i). Les anciens géomètres hindous, Bhascara et Brahmagupta connaissaient aussi déjà la solution de ce problème.

Le problème du n° 11 se trouve traité complètement dans d'anciens

Livres d'Arithmétique chinois. On y trouve non seulement la méthode de Gauss (n** 13) , mais aussi la réduction du cas général au cas où les modules sont premiers entre eux (n° 15) On peut voir sur cette question

Biernatzki , Journal de Crelle , t. 52.

J. Bertrand , Journal des Savants , 1869.

Matthiessen, Journal de Crelle, t. 91.

La fonction ç? (M) a été considérée pour la première fois par Euler. Les Mémoires d'Euler sur l'Arithmétique ont été réunis en deux volumes (Leonhardi Euleri Commentationes arithmeticae collectse. Petropoli , 18i9). Nous citerons toujours cette édition ; la fonction çp se rencontre dans le Mémoire Theoremata arithmetica novo methodo demonstrata , 1759 (tome I , p. 274). La démonstration d'Euler est reproduite dans le tome II de l'Algèbre de Serret. Le théorème Eg9(d) = M est dû à Gauss (Disquisitiones arithmeticae, 1801, art. 39; tome I des Œuvres complètes).

Les théorèmes de Lagrange sur les congruences se trouvent dans le Mémoire : Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers (Œuvres, t. II) et la démonstration des théorèmes de Fermât et de Wilson, Œuvres, t III , p. 425.

La considération d'un système fondamental de solutions d'une ou de plusieurs équations indéterminées est due à M H.-J. Stephen Smith (Philosophical Transactions of the Royal Society for the year 1861 ; vol. 151). i

Nous indiquerons ici les principaux Ouvrages d'un caractère général sur la théorie des nombres :

Gauss , Disquisitiones arithmeticae (Œuvres , t. 1). Il y a une traduction française par Poullet-Delisle.

Legendre , Théorie des nombres 3® édition.

Smith, Report on the theory of Numbers (British Association for the advancement of Science, 1859, 1860, 1861, 1862, 1863, 1865).

C'est un résumé extrêmement important sur toutes les parties de la théorie des nombres auquel nous aurons à emprunter beaucoup de choses.

Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen tlber Zahlentheorie , herausgegeben von R, Dedekind. Dritte Auflage , 1879.

Serret, Traité d'Algèbre, 5« édition, t, II.