aiZ -^ l : a2-\- \ : a^z -\- ] : n

où z est une variable imaginaire et a^, a.,, ff.,, . . . sont des nombres réels positifs.

Deux cas sont à distinguer selon que la série

(S) fj, -f frj 4- Cl., 4- a, -f . . .

est convergente ou divergente.

L'étude du premier cas est de beaucoup la plus simple et conduit aux résultats suivants.

Dans le cas où la série (S) est convergente , les réduites d'ordre pair et les réduites d'ordre impair tendent vers deux limites différentes

P (?) et ^-'~^q (2) ' «1 («)

Ici p(z), q{z), p^ (z), «7i (z) sont des fonctions holomorphes dans tout

le plan, ce sont des fonctions entières de z du genre zéro Ces fonctions

n'admettent que des zéros simples qui sont réels et négatifs , et

Piz) /^i , Jh | ^a

qYz) z ^- k,'^ z + l,'^ z -\- Xs" "

Pli?) ''0 . Il | . 3__

q,{z]~ z ^z-\-e,^zi-6,- ■■

2. Avant d'aller plus loin, considérons le développement de la fraction continue suivant les puissances descendantes de z. Ce développement se présente sous la forme

les coefficients c„ étant positifs et le rapport

coït constamment avec w. Deux cas peuvent se présenter: ou bien ce rapport tend vers une limite finie l et alors la série (S,) est convergente pour 2 > A, on bien ce rapport croît au delà de toute limite, et alors la série (SJ est toujours divergente

Nous trouvons que le premier cas a lieu lorsque les nombres

sont limités supérieurement. Dans le cas contraire , c'est le second cas qui a lieu.

3. Considérons le cas où la série (S) est divergente Nous trouvons d'abord que les réduites d'ordre pair ou impair tendent vers une même limite F (a), la fraction continue est convergente, et cela pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de 2 : il faut faire exception .seulement pour les valeurs réelles négatives.

La partie négative de l'axe réel est ainsi une ligne singulière.

La fonction F (2) est une fonction analytique holomorphe dans tout le domaine que nous venons d'indiquer.

Pour obtenir ce résultat nous nous appuyons surtout sur un théorème de la théorie des fonctions qu'on peut énoncer ainsi. Soit

U{Z\ f,(z\ f^{z),...Jn{z),...

une suite infinie d*; fonctions analytiques holomorphes dans un domaine S limité par un contour s. Si le module de la somme

admet une limite supérieure L, indépendante de n, tant que z est dans S ou sur s; si ensuite la série

est uniformément convergente dans un cercle quelconque C compris entièrement dans S , alors on peut affirmer que cette même série est uniformément convergente dans tout le domaine S, etF(«) est holo morphe dans le même domaine.

4. Le résultat précédent laisse obscure la nature de la ligne singulière ; pour éclaircir ce dernier point nous montrons que la fonction F («) peut se mettre sous cette nouvelle forme analytique

d<^{u) r^ <iu(du) z-\-u ./ (z -|- m)'^

Ici * (u) est une fonction réelle et croissante

mais elle peut avoir des sauts brusques dans tout intervalle, et aussi elle n'est nullement assujettie à être une fonction analytique. Cela suffit pour montrer qu'en général la ligne essentielle met un obstacle infranchissable à la continuation analytique de F(«).

Lorsque le rapport Cn.\\ : Cn tend vers une limite finie A, la fonction * (m) est constante à partir de m = A et l'expression de F («) se réduit à

formule dans laquelle * (m) peut être une fonction croissante absolument quelconque.

5. Dans la dernière partie de notre travail , nous faisons quelques applications de la théorie qu'on vient de résumer.

L'étude, au point de vue de la convergence, de la fraction continue qui provient d'une intégrale

f^ dy>(u)

yj (m) étant une fonction croissante quelconque , n'offre plus de difficultés.

Comme résultat particulier, nous montrons qu'il suffit de transformer la série de Stirling

en fraction continue