INTRODUCTION
L'objet de ce travail est l'étude de la fraction continue
dZn + ï S-\-
dans laquelle les a, sont des nombres réels et positifs, tandis que z est
une variable qui peut prendre toutes les valeurs réelles ou imaginaires.
P (z) En désignant par p." . . la n'*™® réduite qui ne dépend que des n pre-
miers coefficients a<, nous chercherons dans quels cas cette réduite tend vers une limite pour n ^ 00 et nous aurons à approfondir la nature de cette limite considérée comme une fonction de z.
Nous allons résumer le résultat le plus essentiel de cette étude. Il y a deux cas à distinguer.
Premier cas. — La série ^^ ^n ^^^ convergente.
Dans ce cas, on a, pour toute valeur finie de z,
limP2„(s) = p(3),
limQ2„(2) = g(a), limP2„+i(3) = Pi(«), limQ2„+i(5!) = gi(«),
p(z), ç[(^),Pi («), 3i («) étant des fonctions holomorphes dans tout le plan qui satisfont à la relation
q (z) pi (z) — 9i (z) p(z) = -\-l.
Ces fonctions sont du genre zéro et n'admettent que des zéros simples qui sont réels et négatifs.
Les réduites d'ordre pair et les réduites d'ordre impair tendent donc chacune vers une limite, mais ces limites sont différentes et peuvent se mettre aussi sous la forme d'une série de fractions simples
Pi (g) ''O I *'l I ^2 I I ^k ■
f^k, h,vk, Bk étant des nombres réels et positifs. Second cas. — La série ^^ a„ est divergente.
^ÊÊmt
Dans ce cas , les réduites tendent vers une limite finie quelle que soit la valeur de 2; il faut excepter seulement les valeuis réelles et négatives de 0, et considérer ainsi la partie négative de l'axe réel comme une coupure. Cette limite est une fonction analytique de z qui peut se mettre sous la forme
4> {u)du / =° d * (m)
J (z+uf-J 7+1*
Ici $ (m) est une fonction réelle et croissante (non analytique , en général) qui croît de *(0) = 0 jusqu'à <I)(oo) = — Cette fonction 4»(m)
peut d'ailleurs présenter des sauts brusques en nombre fini ou infini. La coupure sera ainsi une ligne de singularités essentielles dans le cas où *(«) présente des discontinuités dans tout intervalle (ce qu'il faut considérer comme le cas général) ou même lorsqu'elle est seulement non analytique.
On rencontre souvent sous des formes un peu différentes des frac-
lions continues qui rentrent réellement dans le type (I) et auxquelles on peut ainsi appliquer nos théorèmes. D'abord, en posant
«1 Ctndn + l
la fraction continue (I) peut s'écrire
et pour tz = l (P) ....
bot
1+ — hi
A l'aide de l'identité
la fraction continue (P) pourra se transformer en (P)
ne) h
la n'^^^ réduite de (P) est identique avec la 2n'*'"® réduite de (I) ou de (P). Cette fraction (I") est de la forme
avec des valeurs positives des A,, a,. Cette forme (P) se rencontre assez souvent; dès lors , il y a de l'intérêt à savoir si elle peut se mettre sous
la forme (P) avec des valeurs positives des 6,-, en sorte que nos théorèmes soient applicables. En identifiant on a
d'oii l'on tire successivement 60, 61, 62, ... , et généralement
An
«1 ' puis 62n-l = An : 62n-
Cependant, il peut arriver que le calcul de ces 6» devienne compliqué et , puisqu'il s'agit seulement de savoir si ces quantités sont toutes positives ou non , on pourra quelquefois avec avantage se servir de la proposition suivante.
Les quantités bi sont certainement toutes positives si l'on peut trouver une fonction positive de n, P„(P] =0), telle que
En effet , 62 =: — est positif et ne surpasse pas '-p- ^ Pg. Or , si
62n-2 est compris entre 0 et P„, on en conclura à cause de
que 62» est positif, plus petit que ^ ^Pn+i.
Donc on aura généralement
0<62„gP„+i, et puis 62n-i =A„ : 62». est aussi positif.
En particulier les 6, sont tous positifs dans les deux cas suivants:
1" Lorsque a„^l-|-An, puisque la proposition énoncée s'applique alors en prenant P„ = 1 ;
2° Lorsque on+i^l + ^n, il suffit alors de prendre P„ = An-i.
Considérons, par exemple, la iractioii continue étudiée par Laguerre qui est de la forme (H) avec les valeurs suivantes des coefficients
