CHAPITRE I

ÉTUDE DES POLYNOMES Ptii^), Qn (a).

1. Considérons une suite de nombres N, Nj, Ng, ..., liés parles relations

Ni = a2N2 4-N3,

Nft 1 = a fc Nft + Nft + 1.

On pourra exprimer successivement N par N^ et Ng, par Ng et Ng, par Ng et N4, etc.

N = (ai02 + 1) Ng + OiNg = (ai «2 «3 + «i + «s) Ng + (aj Og + 1) N^ = . . . . Introduisons un symbole

[«i> «2> • • » «ft]> déterminé par les relations

'[«1. «2. •••>aA] = [ai. «2. •••, aft-i]oft + [ai,a2, ...,aft 2], on aura

(2) . . . N = [ai,a2, ..., afc]Nft + [ai,a2, ...,a4 i]Nfc + t.

Il est clair que N, N*, Na+j sont liés par une relation linéaire et homogène. Il est facile d'obtenir cette relation. Multiplions (2) par Uk + i et remplaçons ak+i Na+i par Na — Na+2, on aura

[ai + i]N = [ai, aa, .. ., a* + i]Nfc — [ai, a2, ..., ak-i]Nk+2;

multiplions par ak+2 et ajoutons, membre à membre, à (2), il vient

[o*+i, aA+2]N = [ai,a2, ..., afc+2]NA + [ai, 02, ..., aic-i]'!^k+a,

et il est clair qu'on aura généralement

(3) . [oa + i, aft+2, ..., Ofc4.j i]N =

= [ai, tta, . . . , ak+i-i] N* + (— 1)' + ^ K, «g, • . • , a*i] N*+j.

De là, nous allons déduire une identité dont nous aurons besoin dans la suite. En remplaçant k par a , l par ^ -\-y -\-l, on a

(i) • • [«a + l.---.aa+/î + y]N =

= K. •■aa + ^ + y]N„ + (-l)'' + ''[ai,.-.,aa-i]N„4-^ + y + i. D'autre part, en éliminant Na + ^ + i entre les formules [a„ + i,...,a„ + ^]N = [a'i,...,a„ + ^]N„ + (— l)^[ai,...,a„i]N„,.^ + i,

[a„ + ^ + 2.--7aa + ^ + j']N = COi,...,aa+/î + y]N„+^ + l+(— l)'"''^[ai,---,0'a+/î]Na+;î+y+l.

on obtient la relation entre N, N„, N„ + ^ + j,^i sous la forme (5) AN = [ai, ...,a„ + ^]|[al,...,a„ + ^ + ,,]N„ + (-l/ + ''[al,...,a„l]N„+^ + y^.lj , où

+ (— O^^'Cttl, •••.««-!] XK+^ + 2.---. ^a+Z^ + y]-

La comparaison de (4) et (5) montre qu'on a identiquement

A = [Oi, ..., Wa+iîlXK + i, .... Ca + jS + y]-

Nous avons donc cette relation

(A) . . K, ...,aa + ^4.,,]X[aa + i, ..., «„+/?] =

= [«1, •••iaa+/î] X[a„+i, ...,a„ + ^ + j,]

+ (— l)^[«n •••,Oa-l3 X["„+;î + 2, ...,a„+;î + y]-

Il est utile de noter certains cas particuliers. Pour /î = 0, on a

(B) [('i, ...,aa + j,] = ["i, ••,«„] X

XK + i. •••.aa+y] + [ai "a-i] X[a„+2, •••. «a + y^'

et pour a = y = 1,

(C) K,...,a^+2]XK.---.a^ + i] = K'-"'«^ + i]><t''2'--''*/'+2] + ("^)'*- Pour y = l, la relation (B) reproduit la loi de récurrence (1); pour

a = 1, il vient

(6) . . . K, ..., 0'j,+ l] = ai[''2, •••> 'V+l] + t"3>' Oy + ll-

On en conclut facilement

tandis que, d'après (1),

«1 D'après ce qui précède , cette dernière fraction continue est aussi

ésrale à r -■ , d'où il est facile de conclure

s [aft i, ...,ai]'

(7) [«1,02 ak'] = lak,Ok-u ..., a{].

Il est clair que le symbole [«fj , . . . , a^, . . . , a„] est linéaire par rapport à un quelconque des éléments a^ et, à l'aide de (B), on trouve facilement

(8) . . [«1, ..., a„] = [ai, . . ., at-i] X [«fc+i, ..., a„]aA + âl, où âl est indépendant de a& et peut se mettre sous les formes Sl = \n^, ...,aic-i,0,ak+i, ...,a„]=[ai, ...,aic-2,ak-i-{-ak+i,"k+2,---,On']- Enfin, on s'assure encore facilement des relations suivantes, où m est un nombre quelconque,

ma,,~, rnoo, -*, .... ma2n-i, — ^'m' "" m ' 'm

ma^, —, mos, —, ..., ma2n-i, -—,«202», + 1 7W ?w m

= mX[0i,a2, ...,a2n+\]

2. Il est clair, d'après ce qui précède, que les numérateurs et les dénominateurs des réduites de notre fraction continue s'expriment de la façon suivante à l'aide du symbole [a^, . . ., a„] que nous avons introduit

P2n(2) = [ff2> «3^) «4» • • • » a2n-lS, a2n],

P2n + 1 (Z) = [û'2i %^> '*4> • • • ' û!2n, «2n4-l «], Q2n + l(2) = [aiS, "2. •••) a2n + ïS]-

Nous désignerons par P*(2!), Q*(a) ce que deviennent P„(a), Qn(2) lorsqu'on remplace partout o, par at+k- Les formules du n" 1 donneront ainsi des relations identiques entre ces polynômes en changeant ai en o,«, lorsque i est impair. On a ainsi les formules

Q2n(a) = a2«Q2n lfa) + Q2n-2(a), Q2n + l(2) = a8n + l«Qan(«) + Qzn-l (2)-

On s'aperçoit facilement qu'on a généralement

P2„ (s) = do + Si « + . . . + a„-i a" -\

Qa» (0) = âBo + ^1 a + . . . + a» s" ,

P2„+i(z) = eo+eia + ... + en3",

les coefficients étant des polynômes des a^ La loi générale de ces coefficients est un peu compliquée ; elle ne nous serait d'ailleurs d'aucune utilité, mais on reconnaît facilement les quelques expressions suivantes qui nous seront utiles.

<Slo = «2 + «4 + • • • ^^n,

£ln-l^^«2% • • • '''Sn,

oBn — 1 = oBnl r • • • H Z — '

eo=i,

Si = ^ (aa + a^ + . . . + fflafc) aak + i,

^ 10102 «2 03 ainOzn + ll

A cause de la relation identique

on a

3. Nous allons établir maintenant quelques propositions sur les racines des équations qu'on obtient en annulant les polynômes P et Q. Les polynômes P, du reste, ne diffèrent pas essentiellement des polynômes Q, et nous insisterons surtout sur ces derniers. Dans la relation (A) du n° 1 , posons

a = 2M — 3, /3 = 1, y = 2, il viendra, en changeant toujours ai en a,z lorsque i est impair,

a2n-2Q2n(2) = [a2n-2,Û(2»-l2, a2n]Q2n-2(s) — Cl2n^2n-i{s)',

on voit que

Q2n(3), Q2n-2(S), Q2n-i{z)- ••Q2(«), Qo ('2') = 1

forment une suite de Sturm. Pour s = — oo , cette suite présente n variations de signe , pour 2 = 0 il n'y a aucune variation. On en conclut que les n racines de

sont réelles, inégales, négatives et séparées par celles de Q2n-2(2) = 0. Lorsque 2 passe en croissant par une racine de Q2„(a) = 0, le rapport Q2m-2(2) : Q2n(2) saute de ^ — 00 à -f- 00. Posons maintenant dans la relation (A),

a = 2n — 2, ^=1, y = 2, on aura

Q2« + l(g)r^ « » « lQ2n-l(g) ^ Q2«-3(g). 02n-l — L*2»-l, «2n2f, «2)1 *• ij ;, «2n + l 1 »

donc

Q2« + l(g) Q2n-l(g) Qi(g)

z forment une suite de Sturm. Les n racines de

e sont réelles, inégales, négatives et séparées par celles de ■ — = 0.

Le rapport Q2n-i (2) : Q2n + i («) saute toujours de — 00 à -|- * • Prenons maintenant

on aura

r^ / X r TQ2n-l(«) Q2n-3(2). a2n-l y2n(Z) = L''2n-lS> «2»J " >

donc

Q2n-l(g) Q2n-3(g) Ql («) „

forment une suite de Sturm: les racines de Q2n(2) = 0 sont séparées par celles de -l?-îL=i — = o. Posons enfin

a = 2w— 1, /î=l, y=l, il viendra

«2«Q2n + l(a) = [a2.i, «2n + lZ]Q2n(3) — Q2n-2(3);

donc

Q2n + 1(S),Q2«(2), Q2»-2(S), •••, Q2 (■S) . Qo («) = ^

forment une suite de Sturm. Les racines de Q2« + i(2) = 0 sont séparées par celles de Q2n{e) = 0.

Nous venons de voir que les racines de

= [ai,a2Z, «3, ..., a2n-2 3,a2n-l] = 0

séparent les racines de

Q2n(2î) = [ai, «2») «8. • • •» «2n-l, rt2n2] = 0.

Donc aussi les racines de

sépareront les racines de

ce qui revient à dire que les racines de P2„(z) = 0 séparent les racines de Q2„(2) = 0.

De même, on verra que la proposition que les racines de Q2„(a)=0 séparent les racines de Q2n + i(«) = 0 ne diffère pas au fond de celle-ci: les racines de P2n+i(8) = 0 séparent les racines de Q2n + i(«) = 0.

Il résulte de là que dans les décompositions en fractions simples

P2n(g) ^ Ml Mg M„ ^

P2n4-1 (g) No , Ni__ , Ng , , Nn .

Q2n+i(«) 2 'z-^x^ a + rcg ■2 + a;«'

les quantités M,-, N,- sont toutes positives. (Il va sans dire que les a;, ne sont pas les mêmes dans les deux formules.)

4. Les racines de l'équation Q„ (x) = 0 sont évidemment des fonctions des n premiers nombres a,. Peut-il arriver cependant qu'une telle racine ne dépende point d'un de ces a,? C'est ce que nous allons examiner. On a d'après la formule (B) du n" 1, en employant la notation que nous avons expliquée au commencement du n^' 2,

(1) . . . Q2„ + 2n'(z) =Q2n{z) ql"niz) + Qsn-l (^î) P1:|'(2) ,

(2) . . . Q2„-^2„'+i(2)=Q2„(a)Qi;:'+i(g)+Q2«-i(2)Pi:;'+i(2).

Nous savons que les deux polynômes Qn («),?« (3) ne s'annulent jamais pour une même valeur de z, de même Qn(g) et Q„i(a). Cela étant, il est facile de conclure de la formule (1):

Si x = a annule deux des fonctions (^2n+2n'{s), Q2n(«), Pl"'(2), cette valeur x^a annulera aussi la troisième de ces fonctions.

Si x = a annule deux des fonctions Q2n+2n'iz), Q2n-i (2), Qln'i^) cette valeur a; = a annulera aussi la troisième de ces fonctions.

Dans le second membre de (1), c'est le polynôme Q|^'(2) seul qui dépend de a2n-i-i; en mettant en évidence ce coefficient, il vient

(3) . . . . Q2„ + 2n'(2:=a2„.fl2Q2n(z)P2"'(g) + R(2),

OÙ R(z) est un polynôme qui ne dépend point de a2n+i- H est clair maintenant que les racines de Q2n-f2n'(3) = 0 qui ne dépendent point de azn+i doivent satisfaire aux équations

Q2n{z)n«iz) = 0, R («) = 0.

Une telle racine doit donc annuler l'un des deux polynômes Q2n(3), P2"'(3), mais, d'après ce qu'on vient de voir, elle annule alors aussi l'autre. Réciproquement, une valeur z^a qui annule Q2n(2) et Flniz)

annulera aussi Q2n+2n'(s) d'après la formule (1), puis aussi R (3) d'après la formule (3), et sera par conséquent une racine de Q2n+2n'(2)=:0 qui est indépendante de a2n+i- Ainsi les racines de Q2n+2n'(2!) = 0 qui sont indépendantes de a2n+i coïncident avec les racines communes des deux équations

Et il est clair que ces équations peuvent , en effet , avoir des racines communes, car la première ne dépend que des paramètres a^, «2, . . . , a2n, la seconde des paramètres a2n+2, (t2n+3, ■ • ■ , a2n+2n'- Mais on voit aussi qu'en général, c'est à-dire lorsque les Ui ne satisfont pas à certaines conditions particulières , ces racines n'existent pas.

On établira de la même façon que les racines de Q2n+2n'(z) = 0 qui sont indépendantes de a2n coïncident avec les racines communes des deux équations

La formule (2) donne lieu à des conclusions analogues qu'il suffira d'énoncer.

Les racines de Q2n+2n'-i-i(^') = 0 qui sont indépendantes de a2n coïncident avec les racines communes des deux équations

Les racines de (^2n+2»' +ii2) = 0 qui sont indépendantes de aon + i coïncident avec les racines communes des deux équations

5. Nous allons établir maintenant les propositions suivantes qui complètent celles obtenues au n"' 3.

Les racines de Q2n-i-2n'(«) = 0 sont séparées par celles de

et également par celles de

Q2„-i(^)Ql;;'(«):« = 0.

Les racines de Q2n+2n' + i(2) : z^O sont séparées par celles de

Q2„-i(0)Ql2'+i(^):^2^O.

Les racines de Q2n+2n'+i(^') = 0 sont séparées par celles de

Q2»(^)Pi;;'+i(^)=o.

Pour n' = 0 ou ^ 1 on retrouve les propositions du n° 3.

Il suffira de développer la démonstration de la première proposition

Reprenons la relation

Q2» + 2n'(2) = Q2„(2) qlliz) + Q2„-l (z) P|^'(2),

et désignons les racines de (^2n{z) = 0 rangées par ordre de grandeur croissante par

a-Ca' <:a" < a'" < . . . ; de même les racines de Fl"'{z):=0 par

et l'ensemble des racines a et p par

Cela étant, la proposition énoncée revient à ceci : la suite des quantités

OÙ «0 = — 00 et a;„+„' = 0, ne présente que des variations de signe.

D'abord Q2»i+2n'(a:o) a le signe de ( — !)«+«'; quant à Q2n+2n'(Xt) deux cas sont à distinguer selon qu'on a Xj = a ou aji = /?.

Dans le premier cas ,

Q2„+2»'(a;i) = Q2n-t(a)Pi:.(a); dans le second cas ,

Or, on voit facilement que dans le premier cas Q2n- i (a) a le signe de (— 1)» et Po^'la) le signe de (— 1)»'+S car a est plus petit que la plus petite racine de Q2w-i(2) = 0 et aussi plus petit que /3.

Dans le second cas , on voit de même que Q2n (/?) a le signe de ( — 1)", Ql^'C/î) le signe de ( — l)»'+\ car p est compris dans l'intervalle des

deux plus petites racines de Q|^ {z) = 0. On voit que , dans tous les cas, Q2/.+2n'(a3]) a le sig-ne de (— ij^ + n' + i; ainsi Q2„+2n'(a;o), Q2n+2n'(a;i) présentent une variation.

Supposons maintenant que, dans la suite des Xi, deux racines consécutives Xk et Xk + \ soient des racines a. On aura

Q2n + 2n'(a;fc) = Q2« - 1 (a) ?!"' (a) , Q2n + 2«'(a3ft + l) = Q2n-l(a')P2n'(«')-

Or, a et a' étant deux racines consécutives de Q2n(z)^0 comprennent une racine et une seule de Q2n-i(2) = 0: donc Q2n-i(a) et Q2n-i(a') ont des signes contraires.

D'autre part, entre a et a' il n'y a par hypothèse aucune racine ^ de Pl^'{z) = 0. Donc Pli- (a) et Pi"' (a') ont même signe, et il s'ensuit que (^2n+2n{Xk) et (^2n+2n(Xk + i) présentent encore une variation Dans le cas où Xk^fi, Xk + \ = P\ on aura

Q2n + 2n'(aJA:) = Q2 n (^) Q2 n (/?) ) Q2n + 2«'(a;A+l) =Q2n(;8')Qi;;'(A

Q2n (/»') et Q2„ f/î') ont même signe, Q|^ (^) et Q|»' {§') ont des signes contraires; Q2n+2n' (a;*) et Q2n4-2n'(a;A:+i) présentent encore une variation.

On arrive à la même conclusion dans les deux cas qui restent à discuter, Xk = a, Xk+\ = /5 et Xk=: P, Xk + i = a; dans le premier cas

Q2n + 2n'{Xk) = Q2n - 1 («) FIIÎ' (a) , Q2n + 2n'(^A; + i; = Q2n(/?) Q2"' C^)-

Q2n-i (3):z a. par rapport à Q2n («) les propriétés de la dérivée Q2„(«); ensuite Q2n(/5) a le signe de Q2n(a + «), Q2n-i (a) le signe deQ2n-i(a+e) (e positif très petit).

On en conclut aisément que le rapport Q2n-i (a) : Q2n (P) est négatif. Ensuite Pfn'C'^) ^ P^'' rapport à Ql"' i^) les propriétés de la dérivée; Pi^fa) a le signe de p2»,(^.); Q|»,(^) le signe de Qf^'C^-e). Le rapport Pf"- (a) : Q|^' (/î) a donc le signe de

et ce signe est -}- ? si l'on remarque que p est une racine de Pi"- {z) = 0 qui est comprise entre deux racines consécutives de Q2n'('^) = 0. Ainsi Q2n+2n'(a;*), Q2n+2n'(a;ft+i) présentent encore une variation. Enfin , si l'on a

Q2«+2»'tet) =Q2„(^) QiS'f/S),

Q2n + 2n'(a;ft+i) = Q2«-l (a) P|^' (a),

on constate que Q2n(/5) : Q2»-i (a) est positif, puis Qlîl'(i8) : P^;;'(a) est négatif.

Les n-\-n' premiers termes de la suite

Q2n4-2n'te,)

ne présentent donc que des variations et l'avant-dernier terme est donc négatif, tandis que le dernier terme est positif La proposition énoncée se trouve ainsi établie.

Nous avons supposé dans ce raisonnement qu'aucune racine a n'est égale à une racine /S. C'est ce qui arrive en général , mais la nature même de la proposition montre qu'il peut en être autrement dans des cas exceptionnels. En effet , d'après notre proposition , chacun des n-\-n' — 1 intervalles formés par les racines de

renferme une racine a ou bien une racine /S. Mais on ne saurait dire a priori quels sont les intervalles qui renferment une racine a et quels sont ceux qui contiennent une racine /î. En effet , cette distribution des racines a et /5 dans les différents intervalles varie d'un cas à l'autre selon les valeurs des ai.

Les coefficients a,- variant d'une façon continue (tout en restant positifs), il doit donc arriver des cas exceptionnels, au moment où la distribution des racines a et ^ dans les intervalles subit un changement. Et il est clair que cela ne peut arriver que de la façon suivante : deux intervalles consécutifs renfermant le premier une racine a, le second une racine p, la racine a peut passer dans le second intervalle, tandis qu'en même temps la racine /J entre dans le premier intervalle. Au II 27

moment critique , les racines a et /î sont confondues avec une racine de

C'est, on le voit, le cas exceptionnel étudié au n^ 4.

6. Nous pouvons établir maintenant, très facilement , la proposition suivante. Soit Xk une racine de

Qn {2) = 0.

Xk peut être considérée comme une fonction de «< et la dérivée partielle

^Xk

ne peut jamais être négative.

Pour la démonstration , il faut distinguer quatre cas selon la parité de M et de t: il suffira de développer le raisonnement dans un seul cas. Supposons

<^2n + 2n'{Xk) = a2n + l XkQ^n («fc) P2n'(«*) + ^ (aîft) = 0,

d'où

^Xk XkQ2n{Xk)Fl'^'{Xk) àa2n + l Q2n + 2«'(a;fc)

Or, nous avons démontré que Q2n(z)Fl^'{z) a par rapporta (^2n+2n'iz) les propriétés de la dérivée ; donc

Q2«{Xk)-Pl:iXk)

est positif et, puisque Xk n'est pas positif, la propriété énoncée se trouve démontrée dans le cas de n pair, i impair. Exceptionnellement, la dérivée peut être nulle.