La formule

P„ + l(g) Pn(g) (—1)"

Q„ + l(^) Q„(^) Qn(2)Q„ + l(2)'

OÙ Q„(^!) Qn+i(2) est un polynôme du degré n-\-\, montre qu'en développant les réduites

Pn (g) ^ Pn + l(g)^

Qn(2)' Q„+i(2)'

suivant les puissances descendantes de z, les w premiers termes de ces développements sont les mêmes. En écrivant

Pn(g)Co Cl , C2 I ( l'yn-l^»-! 1 I 1 \n °" 1 I l-,n-n"»-H |

on définira donc une suite de quantités

qui sont parfaitement déterminées et qu'on pourra prolonger aussi loin que l'on voudra. Les a sont évidemment des fonctions rationnelles des a,-, et, si l'on introduit les 6,- (voir l'Introduction), les a sont des polynômes à coefficients entiers et positifs des hi.

La manière la plus élégante pour obtenir les expressions des c, par les hi nous paraît être la suivante , que nous avons obtenue dans le Mémoire publié dans le tome III de ces Annales.

On calcule d'abord les quantités a,,^, ^<,i par les formules

ao,o = l, ai,o = 0 lorsque i >0; /?o,fc = ao,* + ^2 «i,ft,

^l,ft = «],* + 64 «2,*,

/Î2,* = a2,A -j- hf, a3,t,

^i.k = «i,/t + b2i + 2ai + I,fc;

02,k + l = 65^2,* + Pl,k,

ai,* + l = b2i + l^i,k-\- ^i-l,k-

Il en résulte qu'on a a,-,^ =: /î,;i ^ 0 lorsque i > A. Les expressions a,,*, /îf,^ obtenues, on peut calculer un coefficient Cn quelconque de plusieurs manières par l'une ou l'autre des formules

Ci+k =6oao,«ao,A + 60^1 6201,4 oj,* + 6061 62686402,102,* + • • • 1 Ci+k+i = bobi ^o,i ^o,k -\- 60616263/31,1^,4 + 6061 62636465/52,(^2,* + ••• •

Les coefficients Cn étant définis , nous considérons la série infinie

^ ^i^ Si i

et nous dirons que c'est là le développement de la fraction continue suivant les puissances descendantes de z. C'est une définition purement formelle ; nous verrons bientôt que la série est souvent divergente quelle que soit la valeur de 2: aussi ne faut-il l'envisager pour le moment que sous le point de vue purement formel.

Les Cn sont des fonctions rationnelles des a»; nous donnerons un peu plus loin les formules qui expriment réciproquement les a„ au moyen des c„. A l'aide de ces formules, on pourra donc réduire formellement une série procédant suivant les puissances descendantes de z en une fraction continue.