VJ^__J, L.__ , I

Q„(0) Qo(0)Qi(2) Qi(2,Q,(0)'^---"^Q„i(2)Q„(2)'

et , en développant suivant les puissances descendantes de z les termes du second membre :

1 eï

Qo(2)Qi(«) z

■Qi{«)Q2{«)~ «' "^ «" a* "^ «' '■''

1 f3 fS fS

1 Aj*6

En ajoutant les n premières séries , on obtient le développement de Q y V • Or , si l'on remarque que

Q,n-l{z)Qn(z) = CZ {z -{- Xi){z -\- X^) . . .{z -\- Xn-l),

OÙ c, ooi, X2, . . . , Xn-1 sont des nombres positifs, on voit facilement que tous les coefficients «^ sont positifs , et l'on en conclut que , dans le développement (1) de

Pn(£) Q«(«)'

les n premiers coefficients Cq, Cj, . . . , Cn-i sont positifs, et que les coefficients suivants a", aJJ^j, a"^2» ••• sont plus petits que c„, c„+i, Cn+2, ... respectivement.

On peut obtenir le développement d'une réduite en la décomposant d'abord en fractions simples. Posons, comme au n°3,

Pz» (2) Ml , M2 , , Mn^

Q2n(«) Z-\-Xi^ Z-\-X^^ "'^ Z-{-X„

on en conclura

Ck

= ^Mia;? CA = 0, l,2,...(2n-l)].

Ensuite , en considérant une réduite d'ordre impair

P2n + 1 (Z) ^ No , Ni , Ng , , Jin ^

Q2n + l(2) Z '^ Z-\- Xi' Z+ X^'^" ~^ Z-fXn'

d'où

CA=^Nia;? (k = 0,l,2,...,2n)(Xo — 0),

ces expressions donnent lieu à la conséquence suivante: La forme quadratique

tn — 1 m — 1 /. ^Cp + i + fcX.-Xfc 0 0

est une forme définie et positive, en sorte que le déterminant

Cp Cp4-i Cp-i-2 ••. Cp + m-l

Cp+i Cp + 2 .Cp + 3 ■•■ Cp^m

Cp-f m — 1 Cp-l-2m — 2

est positif.

En effet , si nous prenons un nombre n tel que

il est clair que la forme quadratique considérée peut s'écrire