D'après ce qu'on vient de voir, on a
Cn + l ^ Cn + 2
c'est-à dire le rapport c„ + i : c„ croît avec w. Deux cas peuvent donc
se présenter: ou bien ce rapport croît au delà de toute limite, et alors
la série
<^o fL| £2
est toujours divergente; ou bien ce rapport tend vers une limite finie X, et alors la série est convergente pour | 2; | > A.
D'autre part , nous savons que la plus grande racine de
croît aussi avec n. Nous allons montrer que, dans le premier cas, cette racine croît aussi au delà de toute limite, et, dans le second cas, elle tend vers la limite X.
Posons , sans distinguer les valeurs paires ou impaires de n
Q„ (2) ^ Z-\-Xi'
n = -g- ou — p — et Xn' étant la plus grande racme , on aura
w Cn-2 .r-^
2^ niix^-^
Donc, si -^^^ croît au delà de toute limite, il en sera de même de Xn'
Cn
Mais supposons
Cn
la limite de Xn- ne pourra pas être < A: je dis qu'elle est égale à L Pour cela, il suffira de montrer que a;»- ne peut pas devenir plus grand que X. Supposons en effet Xn==X-\-e, e étant positif, et considérons les deux séries
/i\ ^ ÎL j. Si.
Nous savons que la série (2) est convergente pour \z\ y Xn' = X-\- e, mais divergente pour | a | < Xn-, et donc en particulier pour
Or, puisque lim — — =:X, la série (1) est convergente pour ]«| >A et,
puisqu'on a a|î < Cn, aû + i < c„ + i, . . . , la série (2) sera aussi convergente pour les mêmes valeurs de z et , en particulier , pour
La même série (2) serait donc en même temps convergente et divergente pour A < I 2 < A -)- e. Cette contradiction montre que la supposition que Xn- peut croître au delà de A est inadmissible et l'on a bien
lira Xn' = A C. Q. F. D.
10. Mais la fraction continue étant donnée , comment peut-on reconnaître si c„4-i : Cn croît au delà de toute limite ou tend vers une limite finie? La réponse est très simple. Considérons les nombres
«nCfn + l
si ces nombres ne sont pas limités supérieurement, Cn + i : Cn croîtra au delà de toute limite. iMais, si ces nombres ont une limite supérieure l, le rapport Cn+i : Cn tendra vers une limite finie qui ne peut pas surpasser il.
Les nombres 6„ n'ayant pas de limite supérieure , cela veut dire , quelque grand que soit un nombre M, on pourra trouver toujours un entier m tel que
«mOm + l
Posons , selon le cas , m=:2n ou m = 2n-\- l, et rangeons par ordre de grandeur croissante les racines des équations
en les désignant par
P\, ^2' ••• Pn + 1,
OU aura, d'après le n" 2,
"l + «2 + --- + «" =6i + *2+ • • • + ^2n-li j8l + /S, + • • • + /5n + 1 = &i + «'2 + • • • + &2 n + 1 ,
d'où l'on conclut
/?n + l — (a„— /?„) — («n-l — /9„-l) — . . . — (tti — Pi) = bin -{- b2n + l.
Les différences a^ — /9j , . . . , a„ — /?„ étant positives , il est clair que
/Sn+l > 62»+ 62n + l > M.
On voit donc que la plus grande racine deQ2n( — z) = 0, et, par conséquent, aussi le rapport c„ + i : c„, croît au delà de toute limite.
Si les nombres b^, b^, b^, . . ■ ont une limite supérieure l, choisissons un nombre C tel que Ci > 60 et considérons la fraction continue
Les c„ étant des polynômes à coefficients positifs des b„, il est clair que si l'on réduit en série cette fraction continue , les coefficients seront plus grands que les coefficients correspondants de la série
Or, on s'assure facilement que la série obtenue est identique à celle qu'on obtient en développant la fonction algébrique
qui est convergente pour j 2 | > 4 Z. Donc le développement
sera aussi convergent pour | 2 | > 4Z, d'où l'on conclut que le rapport Cn+i : Cn tend vers une limite finie qui ne peut pas surpasser il.
