Le développement
Cq Cl , c.
L JL. ZjL
P„ (z) et celui de g" . . ne diffèrent que par les termes en
On en conclut que le développement de
ne diffère de P„ {z) que par des termes en
yn-n' + l :
n' étant le degré de Q„ (z). Par conséquent , dans le prod
les termes en
manquent. Cette condition détermine Qniz), à un facteur constant près. Supposons d'abord n pair et posons
en écrivant que les termes en
manquent dans le produit de Q,2n{ — z) par
il vient
(1) . . . aoCfc + aiCft + i + . . . +a„C/(-f.„^0 (A = 0,l,2,
et, si l'on remarque que Q2n{0) = 1 , on obtient
Cn — 1 Cn Cn-f-1
Cn
Cn + 1
Cn + 1
Pour exprimer plus simplement les formules (1), nous introduirons un symbole S /"(m) dont voici la définition: f(u) étant un polynôme, S /"(M) sera le résultat obtenu en remplaçant dans /"(m) les diverses puissances de u, u% u\ m2, . . . par co, Cl, C2, . . . respectivement. On aura
donc (3)
espectivement. On aura S I M* Q2n (- u)\ = 0 (k = 0, 1, 2, . . . , w— 1).
Dans le cas de n impair , soit
Q2» + i (- «) = A a + /S2«' 4- • • • + /«« + 1 «" "■'. il viendra
Le terme constant dans le produit de Q2n + i ( — «) par
est égal au terme constant de — P2n + 1 ( — 3), c'est-à-dire =: — 1 , donc (5)
çj >Q2» + l(— M)( ,
Cette relation détermine le facteur constant que les formules (4) laissaient indéterminé et
Cn + i
Cn Cn + l
Cn + 2
co
Cl •
Cn
■ Cn + 1
Cn + 1 ■■
Les coefficients des plus hautes puissances de z dans Q,2n{z), Q2n+i(«) sont connus d'après les formules du n" 2.
La comparaison avec (2) et (6) donne dès lors
aïO^. ■ ■a2n =An:Bn, «102. . . a2n+i =B„ : An+i;
si nous introduisons les notations
Co c.
Cn-l Cn
Cn — 1 Cn • • • C2n — 2
on en conclut
» Bn^
Cj C2 ... Cn C2 C3 ... Cn + t
Cn Cn + 1 . ■ • C2n-1
(Ao=Bo=l).
BnB„i A„An+l
Ce sont les formules qui expriment les ai par les c,-.
Le coefficient de z dans Q2n+i (») étant aj + Og + . . . + a2n+i (voir n" 2), il vient, d'après la formule (6),
en posant
An+l
Cs ..
. Cn + l
. Cn+2
Cn + l
Cn + 2 • •
Cn=l.
12. Les expressions des numérateurs P2„{z), P2n+i(») sont un peu plus compliquées, mais s'obtiennent encore aisément par cette remarque que la partie entière de
s exprime par
Il suffit de vérifier cela dans le cas f(£) = »*. On aura ainsi
P.(-,)^-s|^-'-'jI„^-'^|.
Des formules (2) et (6) on déduit alors facilement les expressions suivantes. Posons
Rq = Cq,
Rl = Co2 + Ci,
R2 = Co«2-f-Cia + C2,
Rfc=Co«* + Ci«*-^ + ... + Ct,
on aura
0 Ro
Co Cl
. . Cn
Cl C2
Cg .
• Cn + l
Cn-1 Cn
: Bn,
Ro Rj
Cn + l Cn -1-2
Pour 2 = 0, on conclut de la formule (9)
• An
0 Co .
Co Cl .
. C„-i Cn
Cn — 1 Cn • • • C2n — 1
:Br
A l'égard du symbole S, nous ferons cette remarque à peu près évidente que , V« (m) étant un polynôme du degré n , la valeur de
S|V„(M)J est égale au coefifîcîent de — dans le développement de
Pm(M) Qm(M)'
en supposant w ^ n -f ] , ce que nous écrivons
S|V.(„| = Rés.|v.(-„)|^;}.
D'après cela , on a , par exemple ,
S|QU-»)| = Eé,.JQ|.M|^;-^Jj
= Eé».|Q,.(»)L+%i'%tl(îO{
= Rés.|^"M',=^—
Nous rassemblons ici quelques formules de ce genre
S|mQL(-w)1 =a^;:^U„a2„+i'^«2„+ia2«+2)' s! — Qi„+i(-M)i=^— ' s|^QL+i(-w)j=«i4-»3+ ••+a2„+i,
Voici enfin une dernière remarque : supposons
P2k (g) V^ Mj ^ Q2n(2) -^Z + Xi'
on aura
S(V„(w)!=^MiV„(a;.),
d'où l'on voit que, si le polynôme V„(m) ne devient pas négatif pour M > 0, la valeur du symbole
SlV„(M)| est toujours positive.
