CHAPITRE III
OSCILLATION ET CONVERGENCE d'uNE FRACTION CONTINUE, CAS OU LA PARTIE RÉELLE DE Z EST POSITIVE.
13. Supposons «=1 et écrivons Pn, Qn au lieu de Pn(l), Qn(l)- Les relations
P„ = a« Pn — 1 -|- Pn — 2 ( Q„= flnQn — 1 -f- Qn — 2
montrent que l'on a
Pi < Pa < P^ < . . . , Po < P2 < P4 < . . . , Qi < Q3 < Qô < • • • ,
Qo < Q2 < Qé < • • • ,
en sorte que dans le second membre de
Q«^Q^~QrQ2'^Q^~''^Q«-iQn'
les termes vont en diminuant.
On en conclut que les réduites d'ordre impair vont en diminuant , sans devenir jamais plus petites qu'une réduite quelconque d'ordre pair. Les réduites d'ordre pair vont en augmentant sans surpasser jamais une réduite quelconque d'ordre impair. Ainsi les réduites d'ordre impair tendront toujours vers une limite finie , et il en est de même des réduites d'ordre pair.
Iim ^ ^ =Li,
lim|^" = L,
Vtan
et
Li^L.
Si la quantité croissante Qn-iQn croît au delà de toute limite, on aura
Li = L:
si, au contraire, Q„-iQ„ tend vers une limite k, on aura Or on voit facilement que Q,2n > 1, donc
Q2»i + l = «2n + lQ2n + Q2n-l > Q2n-1 -|-a2n + l,
d'où
Q2n + 1 >ai4-«3 + - • -|-«2n + l.
Ensuite on conclura
Q2» = a2nQ2n-l + Q2n-2> Q2n-2 + "l '''2n.
d'où
Q2n > Cl (a, + «4 + • • • + «2n).
Donc , si la série
est divergente, l'une au moins des quantités Q2«, Q2n + i croîtra au delà de toute limite et
Li = L.
Nous dirons , dans ce cas , que la fraction continue est convergente. D'antre part , ayant
Qn = «nQn-l + Qn-2,
on en conclut
Q„-l + Q„ = (l+an)Qn-l + Q«-2<(l +a«)(Q«-2 + Q»-l),
donc
Q„-i + Q»<(l+»i)(i+«2)-(l+«»)- Or , si la série
est convergente , le produit
l'est aussi et ne croît pas au delà d'une limite finie.
Dans ce cas donc, Q2n et Q2n+i tendront aussi vers des limites finies
et l'on aura
Li>L.
La fraction continue, dans ce cas, est oscillante. Si l'on pose, dans ce cas,
on aura
Q»-i + Q«<e», Q„-iQ„>ie2% Li — L>4e-2».
Les propositions sur la convergence et l'oscillation de la fraction continue ont été obtenues depuis longtemps par M. Stern (Journal de Crelle , t 37).
Dans le cas d'oscillation nous venons de voir que Qan et Qan + i tendent vers des limites finies; il est clair qu'il en est de même de P2„
et P2n + 1.
14. Supposons maintenant z^=.x réel et positif On aura, d'après ce qui précède ,
lim^^-^-îg = F,(x).
Fi {x) ^ F (a;).
Il y aura oscillation ou convergence selon que la série
Oj a; + «2 + «3 ^ + «4 + • • • est convergente ou divergente. Mais il est clair que cela ne dépend en aucune façon de la valeur particulière de a;, et l'on arrive à cette conclusion : si la série
est convergente , la fraction continue est oscillante pour toute valeur positive de a^, et l'on a
Fi(a;)>F(a;);
si au contraire la série est divergente, la fraction continue est convergente, et l'on a
Fi {x\ = F (a;) = lira
15. Passons aux valeurs imaginaires de z. Pour étudier séparément les réduites d'ordre pair et celles d'ordre impair, nous remarquerons que
P2n(2) «2 1 ^4 1 1 «ïan
Qo (3) Qa {z) ^ Q2 (s) Q4 (2)
floS
ar.z
fl2n+l2
Q2„ + l(2r) r/i2 Qi(Z)Q3(2) Q3(^î)Q5(«) "" Q2n-l(2)Q2« + ](2)
ïl s'agit donc de l'étude de la convergence des séries
QO
Q2fc-2(2) Q2fc(2)
«2 fc + 1 g
Î2ft-1 (s)Q2fc + l (2)
Supposons s = a; + ?/î, la partie réelle de z étant positive, et considérons un domaine quelconque S dans lequel x admet une limite inférieure X qui soit positive. Je dis que dans ce domaine la série (1) est uniformément convergente ; en effet
02fc
Q2fc-2(S) Q2ft(2)
ffl2A
Or il est clair que
Q2ft-2 (S) Q2* (S) = C (a + a^) (a -f og) . . . (2 -f «2^-1), C et oj, og, ..., a2k-i étant des constantes positives. Pour z^x-{-yi, X étant positif, on a évidemment
|2-j-a,j yx-^-ai,
donc
|Q2ft-2(2)Q2fc(2)i > Q2A-2(a;)Q2fc(«),
et puisque a;^^, à plus forte raison
I Q2fc-2(2)Q2&(2) 1 > Q2ft-2W)Q2*U);
donc
^iL Q2A
Or la série
«2fc
Q2A-2a)Q2fcU) P2n a)
= F U) = lim
est convergente ; par conséquent on peut déterminer un nombre v t,el que pour w ^ v
Q2A-2 W Qaft (A)
quel que soit «', £ étant aussi petit qu'on le voudra. Pour les mêmes valeurs de n on aura donc aussi
Cl2k
et puisque s est un point quelconque du domaine S, cela montre que la série (1) est uniformément convergente dans S. Comme, d'autre part, les termes de cette série sont holomorphes dans S , il s'ensuit , d'après un théorème connu, que
Q2fe-2(S) Q2t(2)
:= iim
est aussi holomorphe dans S.
On voit facilement que les mêmes raisonnements s'appliquent presque sans modification à la série (2), et il suffira d'énoncer le résultat suivant. La série
F, (.) = ^--y K ?fS-^^-rT = '™ ^S
est uniformément convergente dans S et Fj (z) est holomorphe dans ce même domaine.
Ainsi , dans toute la partie du plan où la partie réelle de 2 est positive , on a
"-Sfh^'"-
F (a), Fi(0) étant des fonctions holomorphes. Ces fonctions ne sont pas identiques dans le cas où la série
est convergente; elles sont identiques dans le cas où cette série est divergente. Supposons z^x réel positif, et faisons tendre x vers zéro.
4â6 RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES.
oo conclut aisément des expressions de F(x), Fi(x) par les séries
lim F{x)= «2 + «4 + «6 + • • • I lim a; Fi{a;) = 1 : («1 + ag + Og + . . .)•
Si la série
est divergente, F (a;) croît au delà de toute limite. Si la série
est divergente , x F^ {x) tend vers zéro. Remarquons que
~ I^ I X a;^ ^■•■^^ ' xP ^^ ' xP(x-
XP(X-\-Xk)\
(0<l<]) on aura donc aussi
(0 < f < 1) et de même
16. Il faut étendre maintenant ces résultats au cas où la partie réelle de z est négative. On y arrive facilement à l'aide d'une proposition de la théorie des fonctions que nous établirons plus loin. Mais, avant d'aborder cette étude , nous allons examiner le cas où la série
est convergente. On peut traiter ce cas par une méthode particulière , grâce à cette circonstance que les polynômes
P2n(«), Q2n(aj), P2n + l(a;), Q2n + l(a;)
tendent vers des limites finies.
