On a identiquement
/ ,a2feP2fc-i
+ 7 ,a2kQ,2k-
+ ^a2* + iaPi
2ft(2),
Par conséquent ,
en supposant que la série
soit convergente
, les séries
a2*Q2ft-i (a),
sont convergentes lorsque z est réel et positif.
Considérons un domaine quelconque S dans lequel le module de z admet une limite supérieure k qui soit finie. Je dis que les séries précédentes sont uniformément convergentes dans S, et puisque leurs termes sont holomorphes dans S, il s'ensuit qu'elles représentent
dans S des fonctions holomorphes. Il suffira de considérer la première série. On a
^a2kP2k-l{2) < ^ 02*! P2fc-l(2)|n n
Or P2ft i(2) est un polynôme à coefficients positifs; donc
1 P2fc l (Z) 1 < P2fc-1 ( 1 S I ) g P2ft-1 W,
puisque
donc
^«2ftP2A-l(3) <^02ftP2fc-lW.
Or, la série
co
7 a2fcP2fc— 1 W étant convergente, on peut déterminer un nombre v tel que, pourn^v,
2. a2fcP2fc-i W <«}
quel que soit »', s étant aussi petit qu'on le voudra. Pour les mêmes valeurs de n, on aura donc aussi
^ «2ftP2ft-l(2)
et, puisque s est un point quelconque du domaine S, cela montre que la série considérée est uniformément convergente dans S. D'après cela , nous avons
p(z)= ^«2* P2fc-l(2)=limP2n{2),
g (2)= 1 4- ^02ftQ2ft-l(a)=limQ2n(s),
Pj(3)=l 4- ^a2fc + lSP2A(3) = limP2„ + l(s),
5i('^)= ^a2fc+i2Q2fc(s) = limQ2n+i(s),
les quatre fonctions p{z), qiz), Pi{s), Qiiz) étant holomorphes dans tout le plan. Elles sont liées évidemment par la relation
Pi (2) qi2) — P (2) 9i (s) = + 1- 18. Il est clair, d'après ce qui précède, que la série
^a2fcP2fc-l(s)
est absolument convergente, et même que la nouvelle série, obtenue en remplaçant P2ft i (z) par son expression comme polynouie de z, est absolument convergente. Dès lors, dans la nouvelle série, il est permis d'ordonner suivant les puissances de 0, ce qui donnera
Pi«)=^ «* «'
et le coefficient a/, sera la limite du coefficient â/^ de z'' dans P2n(z) (n" 2). Les mêmes conclusions s'appliquent évidemment à q{z), Piiz), qiiz).
Nous venons de voir que P2n{z) tend uniformément vers p{z), et il est clair que p (2) est une fonction continue de z. On peut en conclure que,
étant une suite infinie de nombres et lim Zn^Z (pour n = 00 ) , on aura aussi
limP2»(^;„)=p(Z).
En effet , entourons le point limite Z (supposé fini) par un cercle C. A partir den'^v, z„ sera à l'intérieur du cercle et, à cause de la convergence uniforme , on aura
pour n'^v', z étant un point quelconque situé à l'intérieur de C. D'autre part , z„ tendant vers Z , on aura aussi
\piz„)-piZ)\<e,
à partir de n ^ v". Or,
\F2„{Zn)-p{Z)\<\Pi„iZ„)-p{Z„)\ + \p{Z„)-piZ)\,
et dans la première formule il est permis de remplacer z par Zn ; dès lors , on conclut
pour w ^ N, N étant le plus grand des nombres v, v', v". Enfin on trouvera facilement , par la considération de la série
p{Z-\-h)= 2. C^2fc P2fc - 1 (g + ^)>
qu'il est permis d'ordonner le second membre suivant les puissances de h, et d'en tirer la conclusion qu'il est permis de différentier autant de fois qu'on le voudra la série
P{'^)= ^a2fcP2A-l(2);
on a donc
p'{z) = limP'.„{z),
et la convergence de 'P'zniz) vers p' (z) est uniforme dans tout domaine S oîi l^l est limité. Supposant lim 2„ = Z, on aura aussi
limP^„(2„)=p'(Z).
19. Nous allons obtenir maintenant les fonctions p{z), etc., sous forme de produits infinis , en nous bornant à développer le raisonnement dans le cas de
Les polynômes P ne diffèrent pas au fond des polynômes Q, on a remarqué déjà (n" 3, à la fin) que
P2«(2) = yQ2„l(3), P2„ + l(2) = QL(«),
et dès lors il sera facile d'étendre le résultat que nous allons établir pour q (z) aux fonctions p (z) , Pi (z) , q^ {z). On a
Nous supposerons les Xk rangés par ordre de grandeur croissante ,
^ + f + -.- + J" = ^i<^n ^1 étant le coefficient de z dans le développement
CD
q(z)=^PkzK
Lorsqu'on remplace n par n -}- 1 , nous avons que x^, X2, .-., Xk décroissent , mais il est clair qu'on aura toujours
Xk>-^-
Pi
Par conséquent, pour n^= x>, Xk tendra vers une limite positive que nous désignerons par Xk, et
Je dis d'abord que la série
Aj /.2 /g
est convergente. En effet , soit k un nombre fini quelconque , en prenant w > A, on aura
-L + J__|....4.i->JL + i + ... + ±,
Aj A2 f-k iCj X2 Xk
pui.sque Xi tend vers Xi en diminuant toujours. Mais, d'autre part, Xi étant la limite de Xi, on peut supposer n assez grand pour que la différence
soit inférieure à e, et alors
Ceci prouve que la série V* -j- est convergente et que la somme de
cette série ne saurait surpasser /îj.
Puisque Xk tend vers A^, on a
lira Q2„ (— a;*) = 0 = g (— A^) ; les Afc sont des zéros de la fonction g (— z).
20. Peut-il arriver que plusieurs l soient égaux, qu'on ait par exemple
lu étant < Afc+i, A^+i+i > Aa: + i? Il faut d'abord remarquer que i sera nécessairement fini puisque la série
est convergente. Ensuite, nous pouvons prendre n assez grand pour que
aJi, . . . , «A, flîA+i, . . . , aîfc+i, Xft+i+i diffèrent aussi peu qu'on le voudra de leurs limites
^U'-'J^Ai ^A + l» • • • » Afc + i» ^A + t + l-
Nous pouvons donc supposer que
soient tous dans l'intervalle Ut + i, Aft+i+i).
Ensuite, nous pourrons trouver un nombre n' tel que les racines
ai+i, ai+2, •••, iCA+i de
se trouvent toutes dans l'intervalle
(Afc+i, a;A:+i), ajjfc+j^-i restant toujours supérieur à Xk-^i^i-
De cette façon , on voit que l'intervalle
de deux racines consécutives de Q2n + 2n'(— 2) = 0 renferme les racines
Xk + l, Xk + 2, ■■•, Xk + i
de Q2„ (— z) = 0. Or nous avons vu (n'' 5) que, dans l'intervalle de deux racines consécutives de
il se trouve soit une racine de Q2»(— 2) = 0, soit une racine de P2n (— 2) = 0. On a donc nécessairement î = 1, c'est-à-dire parmi les nombres
il n'y en a point qui soient égaux.
21. Soit e un nombre positif aussi petit qu'on le voudra; le produit
étant convergent pour toute valeur finie de z, il est possible de déterminer un nombre m tel que
Nous supposons ici que z ait quelque valeur finie fixe. Soit
il est clair que
et puis aussi
A cause de
^=n('+i)xn('+^)'
on en conclut facilement
le module de e' étant inférieur à e.
Considérons, d'autre part, pour n>m l'expression
Q.n(^)=ni+^xnK
Xk
il est clair qu'on aura encore
d'oîi l'on conclut
le module de e" étant inférieur à e.
En faisant croître n indéfiniment ,
tendra vers
Dès lors la comparaison des formules (2) et (3) montre que l'on a
limQ2n(a) = ^, c'est-à-dire la fonction holomorphe q {z) peut se mettre sous la forme
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. . i46
Ainsi, la fonction q{s) est du genre zéro, elle n'admet point d'autres zéros que les — ik qui sont des zéros simples. On arrive pour p{z),p^{z), Çi (z) à des conclusions toutes semblables.
22. Pour toute valeur de z qui n'annule pas q{z) ou q^ (z), on a
Q2n + l(2) îi (s)
Nous allons obtenir ces limites encore sous la forme d'une série de fractions simples. Pour cela , considérons la décomposition en fractions simples
P2n(g) Ml Ma , . M
Pour n = oo, Xk tend vers Xh, il s'ensuit que M* tendra aussi vers une limite finie /xk^O,
Il est clair que fik est positif, car, à cause de la relation
Pi («) 3 (2) — iJ (2) 9i (^) = + 1 , les fonctions p (2) et q (z) ne peuvent pas s'annuler pour une même valeur z =: — Xk- La série
i"l + /^ + /*3 + • • • est convergente En effet, prenant w suffisamment grand,
i"i + /"2 4- • • • + /^fc différera aussi peu qu'on le voudra de
M1 + M2 + ... + MA; donc
/^i + • . . + /^fc < Ml + M2 + . . . + Mt + e,
^1 + . . . + ^i < Ml + |- M„ + £ = 4- + «•
Il s'ensuit que la série
est convergente et que la somme de cette série ne saurait surpasser — Cela étant , et puisque les nombres
croissent au delà de toute limite , il est clair que la série
uu
