kk

définit une fonction méromorphe dans tout le plan.

Soit E un nombre positif aussi petit qu'on le voudra, puisque Xk croît au delà de toute limite, on pourra trouver un entier m tel que

Xm^X — \ si >— .

et l'on aura alors , à plus forte raison ,

d'où l'on conclut

\X,n + i-\-z\>Xm + i — \z\>-^ ,, ^ , .|<e (/=1,2,3,...).

En écrivant

on aura

donc

^- 2^J~+Xk^ 2^ z+Xk' 1 m-hl

ao 00 00

le module de e' étant inférieur à e.

D'autre part ,

Z + Xk'

et, si l'on se souvient que a;* > ^t, on conclut

^Z + Xk m + l

donc

P2n(g) ^ y Mk , e;^ ^

Q2n(3) ^^ Z -\- Xk a^ '

le module de e" étant inférieur à e.

Or, pour n ^ 00 , on a

L^z-\-Xk ^z-\ri.k'

et dès lors la comparaison des formules (4) et (5) montre qu'on a