ai+«8 + • • • +«2n + l

et le maximum de

|°°[l-(l + XiM-fX2«2+... + X„M")2]-^'^^

est égal à

On trouve, du reste, facilement que, dans le premier cas, on a

— mQ2„-|-i(0)

et , dans le second ,

1 4- Xj M -f . . . + X„ M" = Qo„ (— u).

Pour abréger, nous écrivons le premier résultat ainsi

|dV'(M)}n= 1 :(«! + «3+ .■ + a2n + l).

Remarquons que l'intégrale, dont \dy){u)\n est le minimum, a pour M = 0, un élément égal à la masse f^ concentrée à l'origine; on a donc

lLi< \dviu)\n, en sorte qu'on retrouve, de cette façon, la limitation

Lorsque n augmente, \dy>{u)l„ ne peut que diminuer; pour n = oo, cette expression tend vers une limite positive ou nulle que nous représenterons par

61. Considérons d'abord le cas où il n'y a point de masse concentrée à l'origine. Nous savons que, dans le cas déterminé, la masse concentrée à l'origine est égale à

donc

Mais, dans le cas indéterminé, la série

est convergente et par conséquent

{dv'(M)L >o.

Ainsi , s'il n'y a point de concentration de masse à l'origine, la fraction continue sera convergente ou oscillante selon que

est nul ou positif.

Si la distribution 3> représentée par i;; (m) a , à l'origine , une masse /x, enlevons cette masse et soit 3)' la distribution ainsi modifiée. Supposons que, d'une manière ou d'autre (par exemple, à l'aide de la proposition précédente) , on sache si la distribution 3)' est déterminée ou indéterminée , qu'est ce qu'on en peut conclure pour S) ?

Si la distribution S' est indéterminée, S) est aussi indéterminée. Si, au contraire, 3)' est déterminée, je dis que 3) est aussi déterminée, en général ; il faut faire exception seulement pour un cas singulier que nous indiquerons. En effet , voici comment on peut conclure dans le cas où 3) serait indéterminée, 3)' déterminée. Soit 3)i la distribution équivalente à 3) , mais qui a, à l'origine, la plus grande concentration de masse possible , cette masse étant /uy Elle est donnée par une fonction $^

I z-\-u q^{z) i^z-\-Qi'

et vo = jMi. Tant que 3) n'est pas identique à 3)^, on a

Enlevons à 3)^ la masse fx (ce qui peut se faire sans introduire une masse négative) , on aura une distribution 3)( équivalente à 3)'. Donc , si 3)' est déterminée, 3)( et 3)' doivent être identiques, et, par exemple, aussi 3) et '3>y

On peut donc dire, si 3)' est déterminée, 3) l'est aussi en général; il y a exception seulement lorsque 3) est une distribution du type (r,, Qi)

62. Je vais supposer maintenant, comme cela arrive dans les exemples particuliers qu'on peut traiter,

dy){u):=f{u)du,

f{u) étant une fonction positive et généralement continue. On a ici

)/■(«) dM}„ = minimum de / f{u)\l + Xi m + . . . + X„t<"|2dM.

D'abord , dans certains cas particuliers, on sait calculer ce minimum, ou obtenir la fraction continue. Ainsi , par exemple , dans le cas

du,

on trouve

aj — 1 , (ï2n+l —

Puisque a > 0, on voit que la série Y" «2*4-1 est divergente, donc

|M«-ie-''«dM|„ = 0.

Il est clair que, c étant une constante positive, on a

)f{cU)duln= -)f{u)du\n,

if{cu)du\^= -]f{u)diii^.

D'autre part , si

reste inférieur à un nombre fixe , on aura

}A(»)dML=0.

dès qu'on sait que

\r{u)du]^=0.

Si , au contraire , le rapport

est constamment supérieur à un nombre positif, on aura certainement

)/i (tt) d M|^ >0, dès qu'on sait que

l/-(M)dMJ„>0.

63. On peut aller plus loin dans cette voie, et nous démontrerons cette proposition.

Supposons que

et que le rapport f^{u) : f{u) a un maximum fini M„ dans l'intervalle (a, ce) (ce nombre M„ pouvant d'ailleurs croître indéfiniment lorsque a tend vers zéro) , alors , je dis qu'on aura aussi

Pour le démontrer, soit e un nombre positif aussi petit qu'on le voudra. Je détermine d'abord un nombre positif a par cette condition

j" f,{u)du> ^e.

Soit ensuite f{u) une fonction qui est nulle dans l'intervalle (0, a) et égale à f{u) pour m > a.

On aura

\f{u)dU\n=r fîÛ) 2 {Uf dU=r f{u)Sl {Uf d M ,

2 (m) étant un certain polynôme du degré w en M et qui se réduit à l'unité pour m = 0.

D'autre part , si l'on a

\f{u)du\n = l f{u)Z{ufdu,

on aura

\f{u)du\n=rf{u) £{ufdu=rf{u)£{uYdn< ]f{u)d7i\„.

Donc, puisque nous supposons

)nu)dui^=o,

on aura aussi

)r{û)du\^ = o.

J'observe ensuite que

!/; {u)du\n < I 7i {u)Z{ufdu=rf^{u) Sl{ufdu-\- j Vi (") 2(«)-dM.

Or, le polynôme 2 (m) est déterminé à un facteur près par les conditions

pf{u)£{u)u''du = 0 {k = l,2,...,n),

rf{u)Sl(u)u''du = 0.

II s'ensuit que toutes les racines de

sont positives, plus grandes que a. Et puisque 2(0)= 1, on voit que, dans l'intervalle (0, a), on a

0 < 2 (M) g 1 , et , par conséquent ,

yVi (M) £ (uf du <l"ri {u)du<^f..

Ensuite

y7i(w)2{M)2dM<M„^7(M)2Wd« = M„ \r{û}du\„,

donc

)A(M)d«U< Je4-MJ/(M)dM{„.

Or , il existe un nombre v tel que , pour n > v , on a

M„ }/■(«) dM|„<|e,

et il est clair d'après cela qu'on a

IA(")du}^=0. ' C.Q.F.D.

Dans le cas

g2nVM .— 2wi/«

la fraction continue (voir plus loin n" 86) .s'obtient avec des valeurs simples des a*

par conséquent

( ili* I =0

et aussi , c étant une constante positive

du

/co

Cela étant , posons

où rt>0,6>0,A^^, tandis que nous supposons c < 6. Ensuite ê (m) sera une fonction positive de u, qui dans tout intervalle (a, oo) reste inférieur à un nombre fixe. On a

et l'on voit que ce rapport tend vers zéro pour u =: oo .

Nous pouvons appliquer la proposition démontrée et conclure

|M«-ie-'"''ê(M)|^ = 0.

Ainsi l'intégrale

donne une fraction continue convergente, tant que A^^. Supposons ê (M) = 1 , la fraction continue sera oscillante pour A < ^ ; pour abréger, je supprime la démonstration.

6i. Appliquons ce résultat à la série de Stirling. On sait qu'en posant

log r iz) = (^ — ^j log 2 — 2 + 2- log (2 7t) + j (z),

on a

,, ^ ] f^ zdu , ,' 1

ou

1 r^ zW^ du , / 1

^, , 1 r'^«M-*dM , / 1 \

C'est là une intégrale telle que nous l'avons étudiée; on a seulement remplacé z par £- et multiplié par z. Le développement en série prend ainsi la forme

Bi B2

et la

fraction

continue devient

On a ici

in 1/u

S (M) tend ici vers l'unité pour m = oo et satisfait ainsi à la condition imposée à cette fonction dans notre énoncé. Il suffit donc de transformer la série de Stirling (A) dans la fraction continue (B), pour avoir une expression convergente qui représente J {z) tant que la partie réelle de z est positive.

La fraction continue change de signe avec z comme l'intégrale de Binet ; dont elle est une transformation identique ; mais , lorsqu'on change ainsi le signe de z, ces expressions donnent — J(2), mais pas J( — z); l'axe imaginaire est une coupure, au.ssi bien pour l'intégrale que pour la fraction continue.

Le calcul des a* est très pénible ; on trouve

a,-\Z, ff2-2-' "3-53' «4-2340' "^ ~ Ï2Ï8947 ' •••*

la loi de ces nombres paraît extrêmement compliquée. 65. Nous terminons ici cette étude de l'intégrale

par l'énoncé des propositions suivantes, dont la démonstration se déduit

aisément des formules que nous donnerons plus loin (n°' 76, 77, 78).