a)>Ti + T2 + ... + T„i

ç> (a)< Ti + T2 + . . . + T„ 1 + T„ ,

et on aura renfermé (p{a) entre deux limites dont la différence est T„. Il résulte de ce que nous trouverons plus tard que T„ est précisément le plus petit terme de la série Tj -j- T2 + • ■ • o" ^^ terme qui précède ce plus petit terme et qui en diffère très peu.

La détermination des constantes a^, 02, ... est donc le problème principal qui doit nous occuper.

4. Il est évident d'abord que «« est la racine positive de l'équation

transcendante

fl , 1 , , 1.3...(2w-3)

(3) . . . ■<Pia)=^^'^[2a^^s-v-r g-a^»"

mais il nous semble à peu près impossible de tirer de là des expressions qui pourraient nous être utiles.

On peut mettre cette équation sous une autre forme plus avantageuse. Remarquons pour cela qu'en développant les deux membres de (2) suivant les puissances croissantes de a, on ne rencontre point de terme sans a dans le premier membre. Il doit en être de même dans le second membre , ce qui montre que Un est une racine de l'équation transcendante

En multipliant par a^»-! et en posant a^ = t, a^ sera donc une racine positive de

Cette équation admet évidemment une seule racine positive, on montre aussi facilement que le premier membre est négatif pour t=n, donc

al<n.

Mais l'équation (4), pas plus que l'équation (3), ne semble nous pouvoir conduire à ce résultat que al est susceptible d'un développement suivant les puissances descendantes de n

Ce développement , quoique divergent , n'en permet pas moins de calculer les a„ avec une grande approximation comme on le voit par ces quelques valeurs ;

n al d'après (5) erreur

Déjà pour n =: 3 l'erreur n'atteint plus une unité du cinquième ordre, et on peut considérer que notre but sera atteint, dès que nous aurons établi le développement (5).

Mais cela nous a été impossible en partant des expressions analytiques que nous avons développées jusqu'ici, et nous avons dû suivre une autre voie. C'est précisément la valeur principale d'une certaine intégrale définie qui se présente ici , et il nous semble que , dans cette occasion , on pourrait difficilement atteindre le but d'une autre manière.