Supposons a ^ 0 alors on a

On établira cette formule en montrant d'abord que pour o > 0 la dérivée de l'expression au second membre est e"^, et ensuite que cette expression devient infiniment petite en même temps que a. Pour abréger nous omettons cette démonstration.

Il est évident d'ailleurs que cette formule suppose bien a^O, car la fonction cp (a) est impaire. Si l'on considère les valeurs imaginaires,

on trouve que a doit être de la forme re^v avec r>Oet — 7<95<-j-

En employant maintenant l'identité

î4^2=i+-^+---+-^"-^+ïS

' ^2* ^«2(1 -x2) -V r — ^ :^- -J^^J^H pa>

X e ax — 2*+ia2*+^ '

on a évidemment

On retrouve ainsi le développement (1) mais avec cette nouvelle expression du terme complémentaire

(7) R„ = p^v.p.J ^^e<^i^-^dx.

En partant de cette formule on peut , après avoir posé (8) a^ = n-\-n

développer R„ suivant les puissances descendantes de w, et l'on obtient

(9) Rn= ^

V2n où Py, Pj, Pg, ... sont des polynômes en »?, Pa étant du degré 2 k -\- \

Ce développement est divergent mais nous avons dit déjà quel sens précis il faut y attacher.

Pour la manière d'obtenir ce développement , nous devons renvoyer à une thèse présentée à la Faculté des sciences de Paris , insérée dans les Annales scientifiques de l'École Normale (3'èmo Série, Tome 3, 1886, p. 201—258).

On conclut de ce développement que R„ s'évanouit pour une valeur finie de t], dont on trouve le développement suivant les puissances descendantes de n égal à

et comme nous avons posé a^=zn -{-tj, il en résulte

««="--6+405 «+••• C'est précisément le développement qu'il fallait obtenir.

6. En considérant , ainsi que nous l'avons fait, la quantité d^ comme racine de l'équation transcendante

^ — 2e«i<i-»-''da^ = 0 1 — X

la restriction que n soit un nombre entier , devient inutile et l'on définit

ainsi une fonction continue de n. Il est certain aussi que le développe ment obtenu donne une valeur fort approchée de cette fonction a^ dès que n est un peu grand , sans être nécessairement entier.

Si l'on regarde, au contraire, la manière dont nous avons défini originairement la quantité a„, on voit d'abord que l'équation (3) n'a un sens que lorsque n est entier. Il n'est pas possible d'étendre cette définition à d'autres valeurs. En regardant au contraire a^ comme la racine positive de l'équation (4)

-<^ (2 n - 2 tn — 1) I w

on peut bien supposer n variable d'une manière continue, mais la fonction a^ qu'on définit ainsi , devient discontinue lorsque la variable est égale à la moitié d'un nombre impair. Il nous semble que ces circonstances rendent à peu près impossible la déduction du développement (5) en partant directement des équations transcendantes (3) ou (4).