CHAPITRE IX
ÉTUDE DES TROIS CAS PARTICULIERS. SUR LE PROBLÈME DES MOMENTS DANS LE CAS INDÉTERMINÉ.
66. Le résultat auquel nous sommes arrivé dans le n'^ 47 est parfaitement général et embrasse tous les cas possibles. Cependant , il peut arriver que la fonction $ (u) prenne une forme particulière : c'est ce qui arrive déjà dans le cas où la fraction continue est oscillante. Nous allons étudier ici quelques nouveaux cas de ce genre.
Supposons s = a; réel positif; dans quels cas P2n(a;) et (^2n{x) tendentils vers une limite finie pour n^=oo? Puisque
o8i = ^(ai + 03 + . . . 4-«2fc-i)a2*, il faut certainement que SBi reste fini : la série
a= /.(«i + ^3 + • • ■ + a2ft-i)a2A,
doit être convergente. Mais cette condition nécessaire est aussi suffisante, car, puisque les racines de <^2n{z) = 0 sont réelles et négatives, on a
La série o étant convergente , il s'ensuit que la série
^a2k est aussi convergente. Quant à la série
elle peut être aussi bien convergente que divergente,
Mais , dans le premier cas , on retombe sur le cas déjà examiné , où aussi
restent finis Nous aurons un cas nouveau en supposant: 1° La série
7 Cl2k-1
est divergente ; 2° La série
est convergente.
Par des raisonnements absolument analogues à ceux développés dans le Chapitre IV, on arrivera aux conclusions suivantes.
Dans tout le plan on a
limP2»(0)=g(2), hmq2„{z)=a{z),
S{z)et€l{z) étant des fonctions holomorphes. Ces fonctions sont du genre zéro et n'ont que des zéros simples , qui sont réels négatifs. On a par exemple
où a* est limite de la /c'«™« racine de
pour « = 00 .
La fraction continue converge vers
S (^) y" Yk ^
(2.(2) I^z-\-ak'
et la distribution (/*, as) est la solution du problème des moments qui est déterminé et n'en admet point d'autres. Puisque
Q2n + l(2) aigQo(g) + a3gQ2(z)-f ■.■+a2n + l.sQ2n(z)^
«l + "8-f •••+a2n + l ai + «8 + -«' + «2n+l
et que Q2n(«) tend vers €l{z) tandis que la série
est divergente, on voit facilement que
de même
lira --%hAM = ^S(^).
Ainsi se vérifie donc la convergence de la fraction continue , puisqu'on a aussi
n = oo Q2n+l(2) û(«)
67. Voyons maintenant dans quel cas F^n + i {x) et Qin + \{s) tendent vers des limites finies. Puisque
il faut certainement que la série
o' = ^(fl2 + «4 + • ■ • + «2*) «2*4-1
soit convergente. Mais cette condition est aussi suffisante. La convergence de o' entraîne celle de
quant à la série
elle peut être convergente ou divergente; mais, dans le premier cas, on retombe sur un cas déjà étudié.
En supposant au contraire:
1° La série
est divergente ; 2** La série
7 , («2 + «4 + • • • + Ût2*) «2* + !
est convergente.
On a un cas particulier nouveau, qui conduit aux résultats suivants Dans tout le plan on a
]imP2n+i{z)=S,{3), lim(^2u+i{z) = 6ii{z),
^1 (z) et Q,^ (z) étant holomorphes dans tout le plan.
Ces fonctions sont du genre zéro et n'ont que des zéros simples qui sont réels négatifs. On a par exemple
OÙ fik est la limite de la A'*™» racine de
Qzn+i{—z):z = 0, pour n := 00 .
La fraction continue tend vers
et la distribution {àk, fik) {^o = 0) est la solution du problème des moments.
On a ensuite
lim lim
= SAz), = <ai(0),
ce qui met en évidence la convergence de la fraction continue.
• Ct2n + i ;
68. Je reprends les formules du n'' 2, mais pour ordonner maintenant les polynômes P„, Q„ suivant des puissances descendantes de la variable
P2„ (z) = z"~'(l-\-az-^ + a'«-2 4- . . .) X ff2 «3 •
Q2„(«) = s» (l+y?2-'+/3'2-2 + ...) Xa^tto^.
P2n+i(2) = '^" (i + yz-' + /2-2 + ..,)Xa2a3.
q.„+i(z) = 2» + m -{- ÔZ-' + ô' z-'- -\- . . .) X a^a^ .
on aura, en introduisant les bk,
Posons aussi tz= ï , puis
on aura
P2n^(2) . , U2 n Q2„(2)~ " Va"»'
et il est clair que les U„ : V« sont les réduites de la fraction continue
bot
en sorte qu'on a
En supposant donc d'abord t positif, les U„ et V„ vont en augmentant. Pour qu'ils tendent vers des limites finies , il faut évidemment que les quantités a, p, y, ô restent finies. Cette condition revient évidemment à celle-ci : la série
doit être convergente. Ensuite on reconnaît facilement que cette condition nécessaire est aussi suffisante, et qu'elle conduit à cette conséquence : pour toute valeur réelle ou imaginaire de <, on a
limU„ = M(Oi \imYn = v{t),
u{t) et v{t) étant deux fonctions holomorphes. On a donc
limP^) = limP^"+i(^)
La fraction continue est donc convergente, et en effet il est clair que la série
ak
doit être divergente, puisque nous supposons que la série
CO
^0- akUit + i est convergente.
69. Posons w=:2>n ou n = 2m -\- 1 selon que n est pair ou impair, on aura
Vn = (l-\-X,t)(l-\-X.j)...(l-\-X„,t),
OÙ nous supposerons
Xj ^ Xo^ X^^ . . . ^ Xm ;
ce sont là les racines de
Q2n{— i?) = 0 ou de (^2n + \{—z)--Z = 0,
rangées par ordre décroissant. Lorsque n croît, une racine Xk de rang déterminé k croît aussi, et elle tend pour k = oo vers une limite déterminée. Et , en effet , elle ne saurait croître indéfiniment puisque la somme de toutes les racines reste finie.
5gO RECiîERCkES SUR LES FRACTIONS CONTINUES.
Si nous posons
on aura
ri > ri > rg > r^ > . . . ,
et deux r^ ne peuvent pas être égaux (voir le raisonnement du n*" 20). La série
est convergente et l'on a
v{t) = {l-{-r,t){l + r^t){l + rst)....
Considérons la décomposition en fractions simples
OÙ C„ = 0 lorsque n est pair, C2m + i>0
C„ + 9ni4-SÎ^2 + --- + 9ï^"=l.
+ Xkt
Pour n = oo, la constante positive 911* tend vers une limite Sk et l'on démontre aisément, en passant à la limite pour n = oo,
u{t) , y^ TkSkt ^
u{t) , y^ TkSkt v{t)~ L^ \+rkt
ou encore
en sorte qu'il vient finalement
l-^Sk
lim
Q„ (0) ai 2 "i ai W 2 + rfc
On voit donc qu'il y a une masse égale à concentrée à l'origine ; on a donc nécessairement
1 — ^ Sij :ai = l :^a2*-].
Cette masse sera nulle ou positive selon que la série
est divergente ou convergente. Il est à remarquer que ce second cas est en effet possible; il exige seulement que les 02 k croissent rapidement afin que la série
puisse être convergente.
Ensuite il y a les masses- concentrées aux points rk, qui pour A; = 00 se rapprochent indéfiniment de l'origine , la série
étant convergente. On voit donc que la fonction
F («) = lira
a une infinité de pôles dans le voisinage de z = 0, et ce point z = 0 peut être un pôle ou non selon les cas.
70. L'une des premières fractions continues que l'on ait considérée en Analyse fournit un exemple du cas que nous venons d'étudier. C'est
5ë2 RkCHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTlJSTtJES.
la fraction continue de Lambert
Pour la ramener à notre type , nous écrirons
Va p K»
r* = 4:(2ft— l)27i2, S/fc = 8:(2A:— 1)2 7^2.
On a ici
et la série j est bien convergfente ; en même temps la série
L^ OkOk + l *' '
est divergente , il n'y a point de masse concentrée à l'origine. Ensuite on a
Des formules que nous donnerons plus loin (n" 76) permettent de
réduire en fraction continue
H étant une constante positive. On aurait ainsi un exemple du cas où l'origine est un pôle ; il s'y trouve concentrée la masse n.
