Nous allons revenir maintenant au cas où la série

est convergente , pour faire une étude plus complète du problème des moments qui est indéterminé.

Soit t un paramètre positif; je considère la fraction continue

ai«H T

Cl2n + lS -\- -j-

qui est évidemment égale à

En développant suivant les puissances descendantes de 2, on a évidemment

e étant le premier coeflficient qui dépend de t. Posons

3in{e) = <^2n{e) -{- t(^2n+iiz) = [aiZ, a^, ... a2n + lZ, i], les racines de

din{z) = 0

seront réelles, inégales et négatives; en effet, 3{.„{z) est simplement ce que devient Q2n + 2(2) pour a2n+2 = t. Comparons maintenant les racines de

3in{z) = 0 à celles de 5C„ + i(2) = 0. On a

3in + l{z) = [ciiZ, ttg, . . . , a2n + lZ, 02n + 2, Ctin+SZ, <]•

Or, il est facile de voir que si l'on pose

le second membre se réduit à 5C„(3). Les racines de

3in + i(z)=zO

sont au nombre de n -j- 2; si maintenant on fait décroître a2n+2, diu+s de leurs valeurs actuelles jusqu'à zéro, ces racines ne peuvent que décroître, d'après la proposition du n" 6. Une de ces racines deviendra — 00 , les autres vont coïncider avec les racines de

Ce résultat peut s'exprimer ainsi : si l'on range par ordre de grandeur croissante les racines positives de

une racine de rang déterminé Xk décroît lorsqu'on change n en n -f- !• Pour n = 00 on a

lim 3in{z) = q{z) + tq^iz),

Xk tend vers une limite finie 1* et

En effet , on peut répéter tous les raisonnements des n"' 19 et 21. Il est clair que les f/t vont en croissant, mais peut-il arriver que ik = ik + i? Le raisonnement du n" 20 ne peut pas s'appliquer ici ; mais on peut procéder ainsi. Si l'on avait lt = fjt + i, on aurait, pour une même valeur finie et réelle de z,

q{z) + tq,{z) = 0,

q'(z} + tq',{z) = 0, donc

q(z)çti{z) — q,{z}q'{z) = 0.

L'expressi on

déviait do ic s'annuler pour w =: oo , ce qui est manifestement impossible puisqu'elle est égale à