Nous allons montrer maintenant qu'un système tel que
est celui où la masse rjk concentrée au point 1^ est un maximum. De même dans le système (t]'^, 1^), la masse ij'^ concentrée au point f'^ est un maximum pour k=l, 2, 3, . . . . Nous venons de remarquer que cela n'est plus vrai pour A; = 0, le système (vk, dk) donnant alors la concentration maxima à l'origine.
Soit a un nombre positif quelconque ; pour chercher une limite supérieure de la masse qui peut être concentrée dans ce point dans une solution quelconque du problème des moments, je vais considérer les intégrales
r [1 + Xi(M — a) + X2(M — af + . . . + X„(M — a)»]2dv(M),
r [1 + Xi (M — a) + Xo (M — af +
-^X„{u-a)"Y-dyj{u).
Ces intégrales ne changent point de valeur si l'on remplace la fonction ip (m) , qui caractérise une distribution de masse qui .satisfait au problème des moments , par une autre fonction de même nature. On peut donc supposer que la fonction y" (m) caractérise la distribution qui, au point a, admet la plus grande concentration de masse possible D'autre part, ces intégrales ont pour M = a un élément égal à cette masse concentrée au point a. Les intégrales sont donc des limites supérieures du maximum cherché. Pour avoir les limites les plus proches possibles, nous allons calculer le minimum de ces intégrales considérées comme des fonctions de Xj, Xg, . . . , Xn, et ensuite nous poserons
Posons, dans le cas de la première intégrale,
2=l + Xi(M-o)-+-...-f X„(M — a)»;
les conditions du minimum sont
/"*£(« — o)*dv(M) = 0 (k=l,2,...,n)
ou
r£(M— a)M*dv(M) = 0 [k = 0, 1, 2, ..., (w— 1)].
On en conclut facilement
(M — a) £ = aQ2„+i(— M) + i8Q2n(— M), et , pour déterminer les constantes a et /S ,
0 = aQ2„+i(— a) + y3Q2«(— o), — 1 = a Q^„ + i (— o) 4- /3 Q^„ (— a).
Soit , pour abréger ,
A = Q2„(— a)Q2n+i(— a) — Q2n+i(— a)Q2«(— a); on aura
OU
£ = — 2^a2t + iQ2*(— w)Q2t(— a).
La valeur du minimum est
r Z'^dw{v) = f Zdw{u)= -^^a2fc + iQ2fc(— a)/ Q2fc(— «)dv(w);
dans le second membre tous les termes s'annulent , excepté celui qui répond à k^=0', le minimum se trouve ainsi égal à
et, puisque £ = 1 pour u^=a,
n ^ = J^«2t + lQ2*(— «)•
En faisant croître n indéfiniment, on obtient donc, comme une limite supérieure de la masse pouvant être concentrée au point a, l'expression
