SUR QUELQUES TRANSFORMATIONS DE LA FRACTION CONTINUE
76. Supposons qu'à une distribution de masse donnant les moments
on ajoute une masse fi concentrée à l'origine. Il est clair que Cq se changera en Cq + /^ ; les autres moments ne changent pas. Pour voir ce que devient la fraction continue après cette modification , il suffit de se reporter aux formules des n°^ 11 et 12. On voit alors que le déterminant A„ devient A„-|-/*C„i, les déterminants B„, C„ ne changent pas. Il s'ensuit que
Al
Bn Bn — 1
deviendra
(A„ + ^C„i)^ ^ A^ L Cn-l\^ .
BnBn i BnBn — 1 V An /
or
donc 02 n se changera en
[1 + /* («1 + «3 + . . . + a2n-l)P 02„ = aîn-
Ensuite, on voit par un calcul analogue que a2n + i devient 02„+i:[l+/i(ch+a3 4-... + a2n-i)]X[l+i"(«i+a3+ •• + «2n+i)]=a2„+i. Ces relations , on peut les écrire aussi
«i + a8 + ---+«2* + i ai + a34-- ■+ 02*+i
(oi + as 4- • ■ • + a2*-i)^ «2* = (tti + Og + . . . + a2k-\f a^k- Sous cette forme , elles sont presque évidentes , puisque
(fli 4-ag + ... + a2t-i)^a2* =
RECHERCHÉS StfR LÈS FRACTIONS CONTINUÉS. 54-é
Si le problème des moments est indéterminé dans le cas des données
il sera évidemment aussi indéterminé dans le cas des moments
''O T i" > ''Il ^-2 > ^3 > ■ • • ■
Mais si l'on est d'abord dans le cas déterminé, pourra t-il arriver qu'on soit dans le cas indéterminé après avoir ajouté le masse /« à l'origine ? Nous avons déjà annoncé (n" 65) que cela ne peut arriver que dans un cas exceptionnel.
En effet, on suppose la série
divergente et les séries
os
a'2ic 1 1
convergentes l'une et l'autre. La première série est toujours convergente mais , pour que
soit convergente , il faut et il suffit que
^(«1 + 03+ ■••+a2k-if
soit convergente. Il s'ensuit que la série
est convergente aussi ; donc
sera divergente, tandis que
sera convergente évidemment. On est donc dans le cas particulier étudié au n9 66, et la solution du problème des moments est donnée par le système
Mais, en ajoutant la masse ,« à l'origine, on obtient un système indéterminé. Mais je dis que la solution formée par les masses ju et (yic, a*) est la solution qui donne la plus grande concentration à l'origine et est, par conséquent , du type
En effet, il y aurait autrement une solution avec une masse fi -}- fi' k l'origine, et, en ôtant la masse ju, on aurait un système équivalent au système {y/c, o/t), mais qui ne serait pas identique avec ce système déterminé , ce qui est impossible.
77. Supposons maintenant que l'on remplace Ck par Ck + i- De chaque solution (rrii, Xi) du problème des moments (co, Cj, Co, . . .) on déduira évidemment la solution (wiX,, xi) pour le cas des moments (cj, c^, Cg, . . .). Ainsi, si l'on est d'abord dans le cas indéterminé, on restera toujours dans ce cas indéterminé. Mais nous avons annoncé déjà (n° 65) que , lorsqu'on est d'abord dans le cas déterminé , il pourra arriver , dans un cas exceptionnel , que le second problème soit indéterminé.
C'est ce qu'on déduira sans difficulté des formules que nous allons donner.
Il est clair que, par le changement dec* en C/c + i, A» deviendra B„, B„ deviendra C„.
Donc, si a le se change en d^, on aura
0'2„1 = p "~^ = a2n K + as + . . . + Uin-if- Uniin — l
Ensuite, on voit facilement que Q2n(2) devient
aQ2«+i(0)
Voici maintenant les formules pour la transformation inverse. En réduisant la série
en fraction continue
oi 2 +
on aura
ai = — »
Cén + l = a2n: (>W — «2 — «4 — • • • — 0 2n-2) (Wl — Cfg — «4 — • • • — f 2n),
a2„ =a2n-i(m — ag — a4 — . . . — a2„2f.
78. En dernier lieu étudions l'effet d'une translation sur un système de masses. Cela revient à développer, suivant les puissances descendantes de a, l'expression
En supposant qu'on obtienne
Co z
Cl 1 C2 7^ + —
on aura
4 = C* + yACA i4-^^^^^A2Cfc 2+...+^*Co.
Un calcul facile montre qu'en remplaçant c* par 4 le déterminant A„ ne change point, le déterminant B„ devient B„Q2nW, d'où l'on déduit
a'in =-02n : Q2n-2(^)Q2n(^).
Si A > 0, un système indéterminé restera toujours indéterminé, mais un système déterminé peut se changer en système indéterminé dans un cas singulier , comme cela à été déjà énoncé au n" 65.
