EXEMPLES PARTICULIERS
79. Je vais donner maintenant quelques exemples : dans tous les cas la fraction continue sera convergente.
Pour abréger, je supprime toujours les artifices qu'il faut employer pour obtenir la transformation de l'intégrale définie en fraction continue.
Soit A un paramètre positif, je considère d'abord la fraction continue
On a ici
l'une des deux séries
oo
,a2*+ii 7 «2*
^as
sera donc toujours divergente , et pour A =: 1 elles le sont toutes les deux ; la fraction continue est toujours convergente. Mais il y a lieu de distinguer les cas A < 1 , A > 1. Lorsque A < 1 , on a
L'intégrale
se réduit ainsi à une série; il y a sur l'axe une infinité de points matériels
|;(l;i)An-i,„(i A)].
Pour A > 1 , on a
L'intégrale définie se décompose encore en série ; la distribution de masse est
On voit que, lorsque A diffère infiniment peu de l'unité, les masses sont infiniment petites et infiniment rapprochées. Pour A = 1, on a une distribution continue de masse , car on retrouve alors la fraction continue de Laguerre
La distribution de masse doit être regardée comme variant d'une façon continue avec L
On a encore cette expression analytique
d'où l'on déduit en effet , lorsque A < 1 ,
et , lorsque A > 1 ,
n^,^)=f^(^-^)e--t'-'''-'"-'''-'''''^=tzT^i^y
80. On peut rattacher à l'exemple précédent la réduction en fraction continue de la série
considérée par M. Poincaré (Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste , t. II , p. 3).
Si , dans le cas A < 1 , on pose
il vient
, 1-A W '-- À, fi-^ ^
Dans le cas A > 1 , on posera
On obtient ainsi les fractions continues
qp{W,fl)=l +
l — tr -\ ^
<p{fV,f.) = -
En supposant 0 < te < 1 , elles sont convergentes pour toute valeur réelle ou imaginaire de /i, à l'exception des valeurs /i = — -— ; on s'assure facilement qu'il y a encore convergence pour toute autre valeur négative de ft.
81. On peut généraliser l'exemple précédent en introduisant deux nouveaux paramètres. Ainsi soit
on aura
,00 g-iu 1 .=0 ^^a-l e bu F(z,l,a,b)= -, — rTT^<^w= TT?-^ / i ^'"5
pour A < 1 ,
F{zJ.a,b) = ^
y- a(a + l) ■ ■ ■ (r> + » — 1) {l — XYV"' 1 . 2 . 3 . . . w " z + (« -f a) (1 — >l) '
pour A > 1,
tandis que la fraction continue est
aw
mA*
2»iA''
où l'on a posé
3wA*
82. Je vais étudier maintenant , au point de vue de leur convergence, les fractions continues qu'on obtient pour les intégrales
F^iz, k)=f cri(?/, A-)e-««dM, F^iz, k)= f dn{u, k)e-''*dv,
•' F3{z,k) = l sn{îi,k)i:-^''(hi,
Fi{z,k)=l 8r)^(u,k)e-"'(hi.
Kn substituant pour les fonctions elliptiques leurs développements suivant les puissances de m, on obtient les développements suivant les puissances descendantes de z. Ces développements sont de la forme
n I ^2 IS I
dans le cas de Fj {z, k) et Fg {z,k); de la forme
dans le cas de F3(2, k) et Fi{z, k). Dans tous les cas les coefficients c, sont des polynômes en A; à coefficients positifs.
Voici maintenant les fractions continues qui sont de la forme
ou de la forme
selon les deux formes du développement suivant les puissances descendantes de z. Dans le cas du second développement les valeurs des o„ sont très compliquées; mais, en se bornant à considérer les réduites d'ordre pair [voir la forme (H) de l'Introduction] , on a une fraction continue de la forme
avec des valeurs simples des i„, a„.
Dans le cas de Fj {z,k), on a,
6o = l. 62n-i = (2n-l)2. b2n = {2nkf, d'où
«1 = 1, fl2 = 1 »
