n— 1)J Dans le cas de F3(«, A;), on a
Ao=l, >l„ = (2n — l)(2w)2(2n+ 1)A2, a,. = (2n — 1)2(1 + ftS). Dans le cas de F4 (» , A) , on a
^0 = 2, l„ = 2n{2n-{-lf{2 7i-{-2)k'-, «„ = (2/0^ (1 + A^). La démonstration de ces formules , au point de vue purement formel se trouve dans un Mémoire que j'ai publié dans le tome III de ces Annales. J'ai ajouté ici seulement la réduction en fraction continue de
83. Les fractions continues pour Fj (z, k), ¥2(2, k) sont convergentes
pour toute valeur positive de k". Dès lors elles doivent se mettre sous
la forme
mais nous allons voir que cette intégrale définie se réduit encore à une série. Substituons en effet, aux fonctions elliptiques, leurs développements en séries périodiques, on trouve sans peine
Fi(^.A)-^g2^^^^2„^i
„ , \2n+ï)nf^
^2 («'*) = ai
nn K
On reconnaît ainsi que les fractions continues pour Fq{z, k) et F^{z, k) sont aussi du type que nous avons étudié. C'est ce que nous avons déjà vérifié d'une autre façon dans l'Introduction pour FQ{z,k).
Mais les réduites des fractions continues pour Fg {s, k), F4 {z, k) tendentelles vers les expressions de ces fonctions que nous venons de donner? Pour répondre affirmativement, il faudrait savoir qu'on est dans le cas déterminé du problème des moments.
8i. Supposons A; < 1 , g < 1 , l'expression de F^{z,k) montre qu'en posant
le système des masses
{wr,, x„) (n = 0. 1,2.3,...)
est un système déterminé. Ensuite le système
(Wn Xn, Xn)
sera aussi déterminé; car, pour qu'il en fût autrement, il faudrait que la série
soit convergente (voir n". 77); or, on constate que la série
est déjà divergente.
On en conclut que, M étant une constante quelconque, le système des masses
Wn— J^g2n + 1 *^ ^n —
2K est un système déterminé. Or, si l'on prend
1 l Lo2n+l
>2^^lï±j^ (n = 0,1.2,...)
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. [i53
on reconnaît immédiatement que le système
sera aussi déterminé. Cela prouve que la fraction continue pour F3 {z, k) est bien dans le cas déterminé; la limite est bien égale à "P^iz, k). Considérons la fraction continue pour F^iZyk). La série
est convergente (il y a une concentration de masse à l'origine). Si i'on remplace Ck par Ct+i, on aura (n° 77)
En changeant de nouveau c* en c^ + i, on aura
a2„i = a2„(oi + a3 + . • . 4-«2n-i)'^
donc
f'2n-l > ff2n02n-l > — 2«2n+ 1 «j»
Or la série
2;a2n + ia2n est manifestement divergente; il en est de même de la série
ce qui prouve que le système des masses
est un système déterminé. En prenant
n 1 — g2n' on reconnaît que le système
e£t également déterminé, c'est-à-dire la fraction continue pour F4 (a, A) tend bien vers F4 (a, A).
66é RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES.
Nous avons supposé A < 1 , mais on voit facilement que
F^{z,^) = kF,{kz,k),
F,{z,~) = k'F,(kz,k),
F,{z,^) = k^F,{kz,k), ce qui montre que cette restriction est inutile.
85. Les distributions de masses correspondant aux fonctions F{z, k) présentent toutes cette particularité que, lorsque k tend vers l'unité, les masses deviennent infiniment petites , mais aussi infiniment rapprochées.
Pour A; = l on obtient, comme limite, une distribution continue de masse sur l'axe. C'est le même phénomène que nous avons rencontré déjà (n" 79).
Il ne semble pas sans intérêt d'obtenir directement la distribution correspondant à A; = l, comme limite de celle qui correspond à A;= l — e, s étant infiniment petit. Faisons le calcul pour Fj {z, k). Posons
ô sera infiniment petit, et l'on aura q^e-^ avec une approximation suffisante. Ensuite
kK ~ n ' et la masse $ (u) comprise dans l'intervalle (0, m) sera
iô l e ^ , e ^
si l'on suppose que l'entier w est déterminé par la condition qu'on doit
avoir sensiblement
\(2n-\-l)nf 2K
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. ^bb
en sorte que
(2n+ \)à = ny'u.
A la limite , e et ^ tendant vers zéro , on aura
Remarquons que, dans le cas A = 1 , les fractions continues pour Fg(a, A), F4(a, ft), qui sont de la forme (I*^), se ramènent facilement à la forme (I") , ou (I) , et l'on reconnaît alors qu'elles sont encore convergentes dans ce cas.
86. Je vais donner maintenant la fraction continue dans quelques cas où les moments Cn s'expriment très simplement par les polynômes de Bernoulli, définis par la relation
en sorte que <po (^) = ■^ — h ^" supposera dans ce qui suit 0 < A < 1. Considérons d'abord la série
«2 zi «6 ^8 -I----.
elle donne la fraction continue
"'"-^-^ 2(2n-l) . n{n-\-jHn-{-l—i) /"^"- 2(2»+ 1) '
OU bien
Comme on le voit , la fraction continue est convergente, et elle repré sente, tant que la partie réelle de z est positive, l'intégrale
udu /e"" + e-''"\
. „ , , /•» M dît /e"" -4-e~''"\
e^'^ + e-^"" — 2cos{2A7i) qui s'exprime aussi par
V («) étant la dérivée de log r («).
Une autre expression de cette fraction est celle-ci
•shfâshl''-"»
du,
sh| ô e" — e-'
ou sh u =
On trouvera la démonstration de ces formules dans le Quarterly Jour nal of Mathematics , vol. XXIV, p. 370; 1890.
Pour ^ ^ J, on retrouvera facilement la fraction continue qui nous a servi au n". 63.
Considérons en second lieu la série
elle donne la fraction continue
OÙ
H -2-1 nHn - l + 2 k}{n-\- 1-21)
Oo-A. ^, On— 4(2„- i)(2n+l)
Les valeurs des a^n, a2„+i sont un peu compliquées, mais on voit
encore facilement que les séries
sont divergentes l'une et l'autre.
Tant que la partie réelle de z est positive , les réduites tendent vers
/» — 2g du
sin {2kn)
c^"" ^ e-^"" — 2cos(2X7i)
Cette limite s'exprime aussi par
|V'(2 + 'l)-iv(2+l-'l) et par l'intégrale
1 /•*sh(A-i)M
