Supposons qu'on ait «n-i < a < a„ en sorte que
<p(a)>Ti + T2 + ... + T„-i,
<p (a)< Ti -f Ta + . . . + T„ 1 + T„.
Calculons la valeur approchée de
■(2n— l)(2o)2"-ir(n)
en supposant a grand.
Il est visible que la quantité >; = a^ — n reste toujours finie, elle
peut à peine franchir les limites ^ et — w- En désignant donc
par s, e', e", e'" des quantités qui s'évanouissent avec - , on a : r(2//) = (2w)2"e-8"l/^^ (1 -f e) r(rO = n''c-"|/^^(l+6')
et
^'•-2n-l^ (1 + 0(1 +«") aV2
Ainsi le développement (1) permet de renfermer g? (a) entre deux
0,707 limites dont la différence est approximativement — ^
Soit a = 4, on voit que Oig < a < Oj; et nous trouvons
8. Nous ferons voir encore comment on peut pousser plus loin l'approximation et obtenir une valeur très approchée du terme commentaire Rn-
Reprenons la formule
^^1.3...(2n-l)p^,„^.,^^Ll^i|n-jUV,..^.,,
OU
oj-n
En posant
(11) A„=/ ^+idx
ol-n
(12) B=/ -. ^+idx
nous aurons
Il est visible que „ est une simple constante numérique qui dépend seulement de l'entier n, et qu'on peut développer de la manière suivante
(14) An = ao + "i + "| + -^ + ...
D'autre part , on voit aisément qu'on a
('^) B = Qo + '^ + | + ^| + ...
Qo» Qi> Q2» • • • étant des polynômes en rj qui s'évanouissent pour i] = Q, Qfc du degré 2A;+ 1 étant divisible par »;*+i. Ces polynômes sont faciles à calculer , et on trouve
lo = V,
r^-'? Uo'' 48 ''^ 8J'
Ce développement de B est convergent sous la condition | »? | < n et comme on peut choisir n toujours de manière que \ ^ \ ^ ^ \a convergence sera rapide et on peut évaluer facilement cette quantité avec toute approximation désirée.
Il est clair qu'en substituant les séries (14) et (15) dans la formule (18) on obtient un développement de R„ qu'on peut rapprocher de la
formule (9). La seule différence est que le facteur r7=- se trouve rem-
placé par ' on + iww+t — ''"' *''' d'après la série de Stirling on a :
1 ^ 1.3...(2n-l) + e V2n 2"+in''+* '
\ 2 jl.2n \ 23 J3.4n3^l 2^ y/ô-enf ■"'
en sorte qu'il est facile de passer de l'une des formules à l'autre.
Mais la forme (13) présente un grand avantage sur la forme (9), d'abord les polynômes Q sont plus simples et plus faciles à calculer que les polynômes P et ensuite nous savons maintenant que la divergence de la série A„ + ^ provient uniquement de la partie A„ qui est indépendante de r).
9. Le moyen le plus simple qui permet de calculer An avec une approximation indéfinie, c'est de prendre ?; = 0 ou a = Vn dans les formules précédentes. Il vient
(17)' .... 9>(KM)=Ti + T2-f ... + T„ + A„T„ + i.
11 faut calculer alors gs {Vn) à l'aide de la série convergente
Nous avons trouvé ainsi
D'autre part les quatres premiers termes de la série divergente (14) donnent les valeurs approchées suivantes (on a ajouté les corrections nécessaires)
On peut juger par là de l'approximation que l'on obtient pour de plus grandes valeurs de n. Dans le calcul de tp (4) on a besoin de la constante Aifj, et on trouve à une unité près du 8'*""" ordre
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , 103, 1886, 1243^1246)
Sur les séries qui procèdent suivant les puissances d'une
variable.
(Note, présentée par M. Hermite.)
Considérons une fonction
dans l'intervalle 0^a;^l, la série étant convergente pour x = \ On doit prendre, comme définition de f (l),
f'{X) = \\m ^(^)~^^^> (lim ^ = 1 ). i — X
Mais /" (1) n'existe pas nécessairement, comme le montre l'exemple suivant. On a
log ^3.-) = X ''" ^" ' 8in(logj-— -)=^c„a?'.
Je dis que les coefficients 6„, c„ deviennent infiniment petits. En effet.
