ah i M

e-^^'dii.

87. On obtient des formules analogues si l'on considère une nouvelle suite de polynômes, définis par la relation

^ = ;:oW + .iW^ + .-. + znWp^£— „ + .... La série

donne la fraction continue

où

bo=l, b2„ = n^, b2n+i = (n-\-k)(n-\-l—k). La fraction continue est convergente , et , puisque

on voit que ( — ï)" X2n(X) est un polynôme du dej^ré n à coefficients entiers et positifs en A(I - X). Ainsi, ce polynôme est constamment positif et croissant de ^ = 0 à ^ = ^.

La limite de la fraction continue s'exprime ainsi

4 si

in{?.n)j

z du

3tu I „ — nu

(e"« |- c-""*)^ — 4 cos2 (A 71)

ou encore

Nous avons posé ici

La série

ch(M) = COS(îM) = g-

n* • S' enfin donne la fraction continue

où

La limite de la fraction continue s'exprime par

M du

,, . r u au -icoaiXn)j ^2^^

ou encore par

f,nu g-7tu

(e"« | e-"«)2 4 cos2 (Ati)

y«^Mî.-..,„=i[,(i±i)+.('±|^i)

on a

par conséquent (— l)"x2n-i (A) est positif dans l'intervalle (0, |), négatif dans l'intervalle (|, 1).

88. On connaît le rôle que les polynômes de BernouUi jouent dans la théorie de la formule sommatoire d'Euler et de Maclaurin Les polynômes xnW jouent un rôle analogue dans la formule de Boole (Treatise on differential équations, Chap. IV, p. 13; 1859):

+ cRn»

âln =

7(2^)1 nn{u)f<^^ + '^(X^hu)du,