Nous avons vu (n""" 68 — 70) que, lorsque la série
est convergente , la fonction F (z) est égale au quotient de deux fonctions entières de / = 1 : a.
Nous nous proposons actuellement de trouver tous les cas dans lesquels F (z) est une fonction de t qui est méromorphe dans tout le plan.
Puisque
r» d<i>(u) /■" td<i>{u)
il est clair que, pour cela, il faut et il suffit que la distribution de masse représentée par 4> (m) se réduise à une concentration de masses
{mi, Si) (1 = 1,2,3,...)
en des points
Il > ^2 > ^3 > ^4 > • • • > l'"l f« = 0.
se rapprochant indéfiniment de l'origine, à laquelle peut s'ajouter encore une masse finie C placée à l'origine. Les w< sont seulement assujettis à la condition que la série
doit être convergente.
Nous avons remarqué (n". 48) que , lorsqu'un intervalle (a, b) ne contient point de masse dans la distribution représentée par $ (m) , l'équation
ne peut jamais avoir deux racines dans cet intervalle : le nombre des racines dans cet intervalle ne peut être que 0 ou 1 . Il s'ensuit que, dans le cas actuel, le nombre des racines plus grandes qu'un nombre quelconque positif l reste toujours fini et ne peut pas surpasser le nombre fini des nombres
Su «2> *8> • • •
qui surpassent /.
2. Avant d'aller plus loin , faisons quelques remarques sur la manière dont se comportent les racines
de l'équation
et cela dans le cas général. Nous supposons ces racines rangées par ordre de grandeur décroissante: x^ sera la plus grande racine, et x^, Xn, ■ ■■ croissent avec n.
Il peut arriver que x^ croît au delà de toute limite , mais alors Xg, x^, . . .,Xk croissent aussi au delà de toute limite nécessairement.
En eflfet , supposons d'abord
lima;i=oo, limXa^A,
X étant un nombre fini. Il est clair d'abord que la masse Mj correspondant à la racine Xj tendra vers zéro, car
Ml Xy<Cy
D'autre part, X2, x^, • • • restent toujours inférieurs à A: on aurait donc
et
lim<p„(X) = ^H) = ^-
La fonction <P{u) serait donc constante dans tout l'intervalle {X, 00), mais alors aucune racine de
Q2n(— 2) = 0 ne peut être plus grande que X. Cette contradiction montre qu'il n'est pas po.ssible que Xi seule croisse au delà de toute limite. Et, de la même façon, on verra qu'il est impossible qu'un nombre fini de racines croisse au delà de toute limite , en sorte qu'on aurait
lim Xi = lira .Tg = . . . = lim Xk = ». lima;A+i ^X.
Nous pouvons donc dire que le nombre des racines qui croissent au delà de toute limite ne peut être que 0 ou 00.
Supposons maintenant
lim Xj = A , X étant un nombre fini. Il peut arriver que x, soit la seule racine qui tende vers X, en sorte que
lim ^2 = A' < X.
Maïs nous allons montrer que , lorsque
lim ^2 = A ,
alors nécessairement x^, x^, x^, . . . , tendent aussi vers A. Autrement, le nombre des racines qui tendent vers k ne peut être que 1 ou oc. Supposons en effet
lim ajj = lim aîg = . . • = lim ojfc := A ,
lima;fc4-i =:A' < A.
On peut prendre d'abord n assez grand pour que les k plus grandes racines de
soient toutes comprises entre A' et A. Ensuite on pourra prendre n' assez grand pour que les k plus grandes racines de
soient comprises entre la plus grande racine de
Q2„(-a) = 0, et A. Mais il est clair qu'alors les k plus grandes racines de
Qo„(— g) = 0 seraient toutes comprises dans l'intervalle de deux racines consécutives de
Q2ti + 2n'(— JS) = 0.
Or nous savons que cela est impossible, à moins qu'on n'ait A = 1. Si Xi est la seule racine qui tend vers A , on aura
lim a52 = ^' < ^ ,
et l'on verra de la même façon que le nombre des racines qui tendent vers A' ne peut être que 1 ou a. Dans le premier cas, on aura
lim Xa = A" < A',
et l'on voit encore que le nombre des racines qui tendent vers A" ne peut être que 1 ou 00 , et ainsi de suite.
3. Revenons maintenant au cas du n». 1, c'est-à-dire supposons que la fonction $ (m) affecte la forme particulière que nous avons indiquée. Nous allons montrer qu'on a alors nécessairement
lim 62»!— 1 = lim &2n = 0.
Soit , en effet , e un nombre positif aussi petit qu'on voudra. Parmi les nombres
il y en a seulement un nombre fini k qui soient plus grands que e. Parmi les racines de
x^, x^, . . ,, Xit seules peuvent surpasser e, mais Xu+i est certainement inférieur à ft4-i<«. Ensuite ces racines x^, x^, ■•., Xh^n nombre fini tendent certainement pour n = oo vers des limites finies. Désignons maintenant par Xj , x^, . . -, ic^+i les racines de
Q2n + 2(— «) = 0, on aura
aJÎ + a;2 + . . . + a;A+i = 61 + 62 4- • • • + &2n+i ,
Xi-\-X2-\-...-\-X„ =6i4-62 + --- + ft2n-i, donc
^ {X'r — Xr) + ^ {X'r — Xr) + X^ + l = 62» + &2n + l. 1 k + l
Or, si l'on se rappelle que les racines Xk sont séparées par les racines Xk, il est clair que
^{X'r — Xr) + X'n + i < s,
car
^ {x'r — Xr)-\-^ {Xr — x'r+i) +X'„ + i = x'k + i < e,
et Xr — Xr-f-i est positif. D'autre part, la somme
"^{X'r — Xr)
peut être rendue aussi petite qu'on voudra, par exemple inférieure à e, en prenant n suffisamment grand ; il vient donc
b2n-\-b2n + i < 2e, et les quantités 6„ tendent vers zéro.
Ainsi , pour que la fonction F (z) soit méromorphe en t^ — , il faut certaine-
ment que 6„ tende vers zéro.
4. Nous allons montrer maintenant que cette condition est aussi suffisante et que , toutes les fois qu'on a
lim 62»-! = lim 62n = 0,
F (z) est bien méromorphe en z~^.
Pour cela, nous allons faire voir d'abord que ces conditions entraînent cette conséquence :
Le nombre des racines de
qui surpassent un nombre positif quelconque l, ne croît pas au delà de toute limite, mais reste invariable dès que w surpasse une certaine limite. Considérons la suite des fonctions
(a) Qo(3), Q2(2), Q4(^). •••. Q2«(3), ...,
il s'agit de faire voir que le nombre des racines d'une équation
qui sont comprises entre — l et — 00 , finit par être constant.
Or, ce nombre est égal au nombre des variations perdues, en posant, dans la suite ,
Qo(«), Q2(«), ..., Q2„(2),
d'abord z=^ — 00, ensuite z^ ^ l. Mais, pour z^ — 00, on n'a que des variations ; tout revient donc à montrer que , pour z =z — l^ la suite (a) n'a qu'un nombre fini de permanences , c'est-à-dire qu'on ne rencontre que des variations dès que n surpasse une certaine limite.
Pour cela, revenons à la relation entre trois fonctions consécutives; on peut l'écrire
bzn-l Q2n(3) = (« + i2n-2 + 62n-l) Q2n-2(3) — 62n-2 Q2n-4 («).
Posons
il viendra
D'après l'hypothèse , on a
lim 62n-2 =: Hm 62n-l = 0;
donc, dès que n surpasse un certain nombre v, on aura certainement
parce que le nombre positif l n'est pas nul. Nous supposerons maintenant w > i".
On voit alors que si A„i ^ 1 certainement k„ sera positif et compris entre 0 et 1, c'est à-dire qu'on aura aussi ^n < 1. et, par suite, tous les nombres
seront positifs, plus petits que l'unité.
Mais supposons la valeur de A„i quelconque et calculons la suite des quantités
An — 1, An, /n-{.i, /n4-2) ..•.
Nous distinguons divers cas qui épuisent tous les cas possibles.
L'un des nombres Afc est infini, Xm = oc, alors km + i=0 < 1, et, par conséquent tous les nombres
Xm + 2, ^m + 3i ^m + 4, •••
sont positifs , plus petits que l'unité.
Si aucun des nombres At n'est infini , ils seront tous finis , et ils seront : Ou bien tous > 1 ; alors il est évident qu'ils sont aussi tous positifs. Ou bien on en trouvera un A „ ^ 1 , et alors nous avons vu que
Xm + l, Am + 2) An> + 3> •••
sont tous positifs, plus petits que l'unité
Ainsi, dans tous les cas, les nombres A* sont constamment positifs dès que k surpasse une certaine limite. Il est évident, d'après ce qui précède, que nous avons établi ainsi la proposition que le nombre des racines de
qui surpassent un nombre positif quelconque l, ne croît pas au delà de toute limite , mais reste invariable dès que n surpasse une certaine limite.
5. Il est facile maintenant d'achever la démonstration. La racine Xi tendra vers
une limite finie fj, et c'est la seule racine qui tend vers cette limite, car le nombre
des racines qui tendent vers Ij est 1 ou oo, mais il ne peut être oc, parce que nous
savons que le nombre des racines qui surpassent un nombre / est fini. Ensuite Xg
tendra vers une limite I2 <^ ^i > ^^ ^^ ^^^^ '^ seule racine qui tend vers fgi et ainsi
de suite. Généralement, on a
lim xi, = fi et
La masse Mj correspondante à Xj tendra vers une limite »?, ^ 0 en diminuant toujours, mais il est facile de voir qu'on ne peut pas avoir m^ = 0.
En effet, on voit facilement que, dans ce cas, la fonction $ (m) serait constante à partir de m = ^2 <C ^i» mais alors aucune racine ne surpasserait I2, et la racine qui tend vers |^ n'existerait pas. De même, la masse Mj correspondante à x^ tendra vers
une limite rWg qui n'est pas nulle. En effet, nous savons que Mj -|- M2 diminue toujours; cette somme tend donc vers une limite, et il en est donc de même de Mg. On ne peut pas avoir Wg = 0, car, alors, il est aisé de voir que la fonction $ (m) serait constante dans tout l'intervalle (f^, f j), et cet intervalle ne pourrait pas renfermer les deux racines x^ et X2 qui tendent respectivement vers f j et I2. et ainsi de suite. Il est clair que (pn (m) tend toujours vers une limite finie pour m = 00 et cette limite est dès lors = $ (m). Et cette fonction $ (u) affecte bien la forme particulière indiquée plus haut (n" ] ), en sorte que F ( — j est une fonction méromorphe de t.
Ainsi, pour que FI — ) soit une fonction méromorphe dans tout le plan, il faut et il suffit qu'on ait
Iim62n-i^lini62n = 0.
(Article rédigé d'après un manuscrit inédit.)
Sur la loi de réciprocité de Legendre.
t 1. Supposons que p et g sont des nombres positifs , impairs et premiers entre eux. D'après le lemme de Gauss on sait que
où k désigne le nombre des restes , compris entre les limites — — 0
et ^—g — , qui sont négatifs , de la série
p — 1 q, 2q, Sq, ..., ^^-g- q-
D'après cela k indique aussi combien parmi les quantités
q 2q Sq (p— l)g
il y en a dont la partie fractionnaire surpasse -„-•
Or, en introduisant le symbole E(a) pour assigner le plus grand entier qui ne surpasse pas a , on aura
E(a + 1)-E(a)=l quand la partie fractionnaire de a est supérieure à ^ . On en conclut
En considérant de la même manière
on aura
Posons maintenant
alors on a
A' = B' — A' et il s'agit de démontrer la congruence
B + B' — A — A' = ^^ ■ ^^ (mod 2)
pour obtenir la loi de réciprocité
Pour y arriver nous démontrerons d'abord
B + B' = 0 (mod2) et ensuite
Pour établir le premier point on peut démontrer que B est un nombre pair. C'est ce que fait Gauss. Voici la démonstration de M. Kronecker d'après les leçons de Dirichlet (Dedekind, 2'''">« Édition, p. 97). Soit
pE(!^ + |)-„ = ., (,= .,2.3 £^)
il est évident que Ty sera compris entre ± ^ , car E (— + 'k] ^^^ '^ nombre entier qui diffère le moins de . Les nombres ry sont tous dif-
donc
férents et la somme de deux d'entre eux ne peut être nulle Donc dans leur ensemble ces nombres ry sont
quelques uns étant afïFectés du signe -|- > les autres du signe — . Or, on a
B = 2^(2/-r,) = 0 (mod2).
2. Mais on peut se dispenser de démontrer que B est pair , car on a B =: B'. Cette remarque avait échappé aux premiers chercheurs. En effet E (o) exprime combien il y a de termes positifs dans la série
à condition de pousser assez loin cette série. D'où l'on conclut que B indique combien il y a de nombres positifs dans le groupe des --„ — — 0 — nombres
^ + l-z ou 2yq-(2x-l)p
X on voit que ces nombres résultent
En remplaçant x par -—" — aussi de l'expression
2px-\-2qy—pq
La symétrie de cette expression met en évidence la relation B ^ B'. Voici comment on peut interpréter géométriquement ce résultat. Sur
deux axes OX et OY prenons 0A = ^, 0B=2 et complétons le rectangle OABC. Considérons en même temps le réseau des points x, y dont les coordonnées sont
et qui sont à l'intérieur du rectangle. L'équation de la diagonale AB étant 2px-\-2qy — pq^O, il est clair que B = B' est le nombre des points du réseau qui se trouvent à l'intérieur du triangle ABC, ce que nous indiquerons ainsi
