Le nombre B étant pair on a

Ae=^e(^) (mod2).

Supposons que parmi les nombres E ( — j il y en ait l qui sont impairs, k et / seront de même parité. Mais il y a plus, car on a A; = i, ainsi :

Si l'on divise les nombres

» — 1 q,2q,Sq, ...,^^-^q

par p, on trouvera autant de quotients impairs que de restes qui sur-

P passent -g--

Pour le faire voir , je remarque d'abord que E (a) 4- E (î — a) = î — 1 par suite les quotients de m g et (p — m) g par p sont toujours de même parité , car leur somme est q — 1. Il en résulte que si je considère les deux groupes de nombres

(a) 2q, iq, 6q, ..., (p — l)q

et si je divise tous ces nombres par p, le groupe (a) donnera autant (A) de quotients impairs que le groupe (/î). Le groupe

q, 2q, Sq, ..., {p — l)q

donnera par conséquent 2 A; quotients impairs, et par suite chacun

des groupes

» — 1 (y) q, 2q, Sq, ..., — 2 ?

iJL^ JP+1 P + 3 p + 5 , ,,

id) . . . . ^?^^g, ^-r^, ^fl^Ç, ..,, (p l)g

en donnera k.

Donc les groupes (y) et (6) ou

yq et 2yq (t/ = 1, 2, 3, . . . , ^^)

donnent le même nombre de quotients impairs. Maïs il est clair qu'en divisant 2yq par p le quotient sera pair ou impair selon que le reste

obtenu en divisant yq par p sera inférieur ou supérieur à -^ , d'où la proposition énoncée.