III) = (IV

Pour la démontrer je cherche une expression du nombre (IV) qui indique combien il y a des points du réseau satisfaisant aux conditions

2px-{-2qy—pq>0, px — qy>0.

Pour une valeur donnée de y on doit avoir

Tant que y < ^ on n'a qu'à faire attention à la première limitation, et pour y > y c'est la seconde limitation qu'il faut seulement envisager. Pour y < . on aura donc

valeurs de a;, et pour y > -^ ce nombre sera

On a donc

Or , dans la première somme 2 y parcourt les nombres pairs inférieurs à 9 . dans la seconde p — 2 y parcourt les nombres impairs inférieurs à ^ ; on peut donc écrire simplement

et l'on trouvera de la même façon

A cause de

E(a) + E(a + ~) = E(2o) on en conclut