III) = (IV

Il se confirme ici de nouveau que B ^= (III) + (IV) est pair. Ensuite on obtient cette nouvelle expression de k

c-à-d. en divisant les nombres yq par 2p, il arrive A; fois que le reste obtenu surpasse p, ou bien, ce qui est la même chose, en divisant

les nombres y q par p il arrive k fois que le quotient E y- — j obtenu est impair. On retrouve ainsi la proposition de tout à l'heure.

5. On obtient une expression de k qui conduit rapidement à la loi de réciprocité par le raisonnement suivant Pour que la partie fractionnaire de -" soit supérieure à -^ il faut et il suffit qu'on ait

x-i<^<x ou ^^ — f^<y<Y'

Pour une valeur donnée de x on obtient ainsi

V qj q

valeurs de y, d'où Ton conclut

*=Zl'=(f)-'=(^^)|

et l'on s'assure facilement qu'il faut prendre a; = l,2,3,..., — k^- En écrivant dans la seconde somme — "C a; au lieu de x on trouve

donc

*-zi^rf)+>=(i-?)! (™^2)- ■

Mais il est clair que

est égal à n— ou à ^—^ — — 1 selon que la partie fractionnaire de — est inférieure ou supérieure à ^ , donc

k=P^.^-k' (mod2).

On voit en même temps que la somme

qui se présente ici est le nombre • •

(AOB) = (I) + {II).

(Article rédigé d'après un manuscrit inédit.)

Étude sur l'intégrale f x''-^e*dx.