Soit

(1) , F(a)=/"V-ie»da;

oïl nous supposons

0^a< + oo, 0<A;<1.

En développant l'exponentielle on obtient

k ' A + l^ 1.2.A; + 2^1.2.3,A; + 3^"" Cette formule permet de calculer F (a) avec une approximation in définie pour toute valeur de a. Mais dès que a est un peu grand ce calcul devient impraticable à cause des longueurs du calcul, et dans ce cas on devra préférer souvent d'autres formules, même si elles ne permettraient pas d'obtenir F (o) avec une approximation indéfinie.

On obtient un premier développement de ce genre par l'intégration par parties qui donne

iF(a)=a>--4 + ^ + ^'^^' + ...+''-*''^-fh'''-'-*'|+R.

I =Ti + T2 + ....+Tn + R„,

(4) B.n = (l — k){2 — k)...(n — k)fx''-»-U='dx.

Cn étant une constante indépendante de a.

En effet les deux membres de l'équation (3) ont même dérivée par rapport à o, par conséquent ils seront égaux si l'on peut déterminer c„ de manière que l'équation soit exacte pour une valeur particulière de a. Or si l'on prend a positif mais assez petit pour que

F(a)<Ti4-T2 + ... + T„,

il est clair que l'équation (3) détermine une valeur unique de cn qui sera supérieure à cette valeur particulière de a. On a évidemment

d'où l'on voit , en posant a =: c„ + 1 , que les constantes positives

^U ^2> ''8» • • ■ > Cn • • '

vont toujours en augmentant. On peut ajouter que c„ croît au delà de toute limite. En effet dans le cas contraire on aurait c„ < 6 pour toute valeur de n, 6 étant un nombre fini. Il en résulterait d'après (3)

6 ' •■• ' ftn-l

quel que soit n, ce qui est évidemment impossible.

2. Il est clair que si l'on connaissait la série des constantes

^H ''2 > ^Z> • • • » Cn » • • •

rien ne s'opposerait à un usage légitime du développement (3). Supposons que la valeur de a tombe entre c„i et c„, on aura F(o)>Ti + T2 + ... + T„i, F (a)< Ti + T2 + . . . -f- T„.

Mais il reste ici la difficulté qu'il faudrait connaître les constantes Cj, Cg, C;,, . . . au moins d'une manière assez approchée pour déterminer l'entier n.

Nous reviendrons tout-à-l'heure sur cette question, mais remarquons d'abord que lorsque a est grand les termes de la série

Ti-f-T2 + T8+...

vont en diminuant d'abord pour croître ensuite indéfiniment.

L'indice du plus petit terme T„ se trouve égal à

& étant déterminé par la condition que n doit être entier. Dans le cas 0^0, il y a deux termes consécutifs égaux, plus petits que tous les autres , n= -{• k est alors l'indice du premier de ces deux termes.

En supposant a grand , on obtient facilement une valeur approchée de ce plus petit terme T„, en effet

(1 — A:)(2 — A:)...(w — 1 — A) „r(n — A:) ^^ r(a4-0) fc" "~~" " a»-* " ~"r(l— A)"a"-* r(\ — k)'a'' + ^'

Or on a, £ et s' désignant des quantités qui tendent vers zéro

avec — a

donc

ou plus simplement

<«' ■'•-TïàTi fi <'+•'■

3. Examinons maintenant la détermination des constantes q, a, Cg, ... Il est évident d'abord que Cn est la seule racine positive de l'équation transcendante

(7) F(0 — i*-it'

mais le calcul de c„ de cette manière est toujours laborieux et devient tout à-fait impraticable dès que n est un peu grand, ce qui est justement le cas le plus important. En effet pour résoudre l'équation (7) il faudra calculer F(<) par la formule (2) et il est clair que, si l'on ne trouve pas un autre moyen pour calculer c», il vaudrait mieux renoncer à l'emploi du développement (3) et s'en tenir à la formule (2).

On peut mettre l'équation (7) sous une autre forme qui permet de voir plus clairement de quelle manière Cn dépend de n et de k. Développons les deux membres de (8) suivant les puissances de a, comme

il n'y a pas de terme sans a dans le premier membre il doit en être de même dans le second membre. On en conclut d'abord que c„ est une racine de l'équation transcendante

^lc — n ^k — n + l fk — n + 2

(8) • 'y'^'^ = F^ + r.k-n-^i + l.2.k-n + 2+--- = '^ et ensuite qu'on a identiquement