I -\-{l — k)(2 — k)...(n — k)tp (a

Il est clair que l'équation (8) n'admet qu'une seule racine positive = Cn car les termes ne présentent qu'une seule variation de signe.

L'équation (8) ne renfermant que le seul paramètre k — n, il est naturel de considérer c„ comme fonction de ce paramètre , mais nous préférons poser

(il) c„ = x(m)

en sorte que t=:x{in) est racine de

(12) yii) = YZ^ + 2Z^ + r.2.(S-m) + 1.2.3.{i-m)+- = ^-

Le nombre n pouvant avoir les valeurs 1, 2, 3, . . . et A; étant compris entre 0 et 1 , nous n'avons qu'à considérer les valeurs de m qui sont supérieures à 1 sans être entières. On constate d'abord que la fonction x (w») est constamment décroissante , en effet on a

dt 'dm '

dt

du» fl — "» ^2 — m <8 — »n

dm ^^"^^(l— mf^ {2 — mf^ 1.2. {3 — mf

j • d xp è w . .-

et a cause de 1/^ = 0» on voit que -\— et ^j — sont positifs tous les

, , dt dxim) , ..

deux , donc -, — = C* negratif. ' dm dm "

Mais d'autre part nous avons vu que les constantes

Cn, Cn + l, Cn + 2, • • • C. a. d.

vont toujours en augmentant. L'explication de cette contradiction apparente se trouve dans ce fait que la fonction x (w) ^st discontinue dans le voisinage des valeurs entières de la variable. Une discussion facile montre qu'en désignant par e une quantité positive et infiniment petite , on a

x{n + e) = -\-oo, «=1,2,3,...

La nature si compliquée de la fonction x (»») = c„ qui vient de se montrer ici , ne semble guère permettre d'obtenir d'une manière simple et commode une valeur suffisamment approchée de c„ comme l'exigerait l'emploi du développement (3). Il faut en conclure que ce développement n'a aucune valeur au point de vue du calcul numérique.

NOUVELLE EXPRESSION DE LA FONCTION F (a).

4. Nous allons considérer maintenant une fonction G (a) définie de la manière suivante

b Oga<c3o, 0<Â;<1.

L'intégrale définie

n'a pas de sens à cause de la discontinuité pour a; = 1 , mais dans la définition de G (a) figure la valeur principale de cette intégrale d'après la définition de Cauchy

/"> Irl — e r"

= lim / +/

D'après cette définition , il vient

Oia-\-h) — Q{a) 1 ^oo ^-Agoo-a) gha-x)i

dx.

Dans le second membre on a pu omettre ici l'indication v. p. car la fonction sous la signe / reste finie pour a; = 1. Mais on a

ph{l—x) 1

donc

G(a-\-h)-G{a) 1 r .ja^iu^-r^ .^ h ~T(1-A)j ^ ^ ^^•

Ici f est une fonction inconnue de x mais qui reste toujours comprise entre 0 et h.

Par des raisonnements qui sont trop faciles pour qu'il soit nécessaire de les développer , on conclut de là

h tendant vers zéro , soit par des valeurs positives , soit par des valeurs négatives. Mais cela suppose essentiellement a > 0, et comme on a

on arrive à cette conclusion :

la fonction G (a) est continue tant que a est positif et elle admet pour ces valeurs de a une dérivée G'(a) = a*~^ e".

5. Mais il faut encore une recherche particulière pour savoir si la fonction G (o) est continue dans le voisinage de a = 0. Pour cela , remarquons que

OÙ e est une quantité positive que nous ferons tendre vers 0.

Décomposons l'intégrale en deux parties

où l = e-^ croîtra au delà de toute limite. Ayant

eji-* , 6*.e'

il est

clair

que

- dx<ee

-*da; =

donc

lim r X-

da;=0.

Quant à la seconde intégrale il est clair qu'on aura à partir du moment où l est devenu supérieur à l'unité

(i-x) i ,co ^ dx f" dx 1^

^ donc

Um f ic-* ^ , „ dx = 0.

On conclut

limG(e) = G(0).

La fonction G (o) est donc continue même pour o = 0, et nous pouvons écrire

G(a) = G(0)-f /""aj^-ie^'da;.

La valeur de G (0) est facile à trouver

1 r iC-* , — ?lCOtg kn p/r.x„„al.

(v. Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, pag. 145) et comme résultat

de cette analyse nous pouvons donc écrire cette nouvelle expression de la fonction F (a)

. F(a) = r(A)cosA;i + ^^v.p.y ^ ^'^ dx.

AUTRE DÉVELOPPEMENT DE F (a).

6. La nouvelle expression de F (a) que nous venons d'obtenir donne facilement un nouveau développement en série. En effet à l'aide de l'identité

1 — x on obtient aussitôt le résultat suivant

(14)F(a)=r(A)cosA;T+a*-ie«

(16) .... Sn=^^,^j---^v.p.y -^-

oo n-n — kpa(l — x)

dx.

On voit , ce développement se distingue de notre premier développement (8) seulement par le terme r{k) cos /cjt et un changement correspondant du terme complémentaire. Il est clair que

(16) S„4-r(A;)cosA;7t = R„,

d'oîi il suit que

4^ = ^ = (1 - A) (2 - A) . . . (n - ft) a*-»-i e«. da da ^ '^ ' ^ '

S„ est donc une fonction croissante de a, or il est clair que pour a positif, très petit S„ est négatif. Par conséquent S„ s'annule pour une seule valeur positive de a que nous désignerons par a„ et alors

(17) . . . S„ = (l— A)(2 — *)...(« — Aj/^x*-»- ^É^dx. Les constantes

ûl» «2» «3> ••• ) On.. ■

que nous venons d'introduire, vont continuellement en augmentant et

finissent par dépasser toute limite fixe , c'est ce qu'on voit exactement de la même manière que dans le cas des constantes Cj, Cg, . . . , c», . . . Supposons que a tombe entre an-i et a„, on aura

F (a) > r (A) cos A ^ + Ti + Ta + . . . + T„ 1 , F (a)< r (A;) cos kn-^- 1\ + Tg + . . . + T„. Mais tandis qu'il n'est pas possible d'avoir aisément une valeur approchée de c„, nous verrons dans la suite qu'on obtient facilement une valeur très approchée de a„ à l'aide du développement

""-"*" 3 + 405 m^bWàm^--'

(m = n + 1 — k) dont nous aurons à nous occuper dans la suite.

La comparaison des formules (9) et (16) donne encore cette expression de S„

S„ = (1 — k)(2 — k) . . .{n — A) V (a) — I' (k) cos k n. En remarquant que

cos A 71 =: ( — 1)" COS (A — W) 71

il vient , en introduisant le nombre m^=n-{-l — k

(18) . . S„ = (l — A)(2 — A)...(n — A)[v'(o)+ r(l— w)cosm7r].

7. On peut ici déjà se rendre compte de l'avantage qu'il y a à substituer les constantes o„ aux constantes Cn-

En effet les formules (15), (18) montrent que a„ s'obtient comme racine d'une équation transcendante qu'on peut écrire

1 /-Qo /«.m — 1 g((l — r)

(19) . . v'(()-f r(l — m)cos»27r=~~v.p.j j— -^ — dx = 0

tandis que Cn=^x (ni) était racine de

il — m /2 — m i^ — m

Comme on le voit on peut considérer aussi a„ comme fonction de m simplement et nous écrirons a„ = Xi (w).

Les discontinuités de x (w) avaient leur origine dans ce fait que y> (t)

est une fonction discontinue de m. Ici au contraire on constate directement que

V (0 + r (1 — m) cos m n

considérée comme fonction de m, ne présente aucune discontinuité, c'est même une fonction holomorphe dans tout le plan , les discontinuités polaires de v'(0 et de r(l —m)cmmn se détruisant.

Pour mettre ce fait dans son vrai jour, posons pour simplifier < =: 1 , et écrivons a au lieu de 1 — m, la formule (19) donnera

(20) r(a)cosa. = i- + ^^-, + ï^^-2 + r;^3V+3

dx.

Il y a Heu de rapprocher ce résultat du suivant qui est bien connu et qu'on doit à M. Prym

q(a)=f a;"-ie-^da;.

La formule (21) ne définit la fonction G (o) que tant que la partie

;ellede a est inféri on trouve aussitôt

réelle de a est inférieure à 1, mais à l'aide de l'identité :; = 1 + q

Cette relation permet de calculer G (a) lorsqu'on connaît G (a — 1) et l'on peut continuer ainsi la fonction G (a) dans tout le plan , c'est une fonction qui est holomorphe dans tout le plan, comme la fonction Q(a) de M. Prym. Du reste ce résultat était évident à priori , par le théorème de M. Mittag-Leffler.