SUR LES SÉRIES QUI PROCÈDENT SUIVANT LES PUISSANCES D'UNE VARIABLE

donc

ù„-\-ic„— i.2...n

On en conclut

(n-lf.

lim 6„ = 0 , lim c„ = 0.

Posons maintenant

où an^Cn — Cn-\. Alors on trouve, pour x = l,

f(\) = lim (ai + «2 + • • • + «n) = lim c„ = 0 et évidemment , pour 0 ^ a; < 1 ,

fipc) = (1 — a;) sin ^log j-^^;^) • Par conséquent

Le sinus oscillant entre — 1 et +1, on voit que f (1) n'existe pas L'exemple

f(x) = VY^x = \-\x-~x^-^^^u?-...

est plus simple ; mais , dans ce cas , — \x — ^''°^'' ^" ^^^^ ^^ toute limite en restant constamment négatif. Il conviendrait alors, peut-être, de dire que la dérivée existe et que /■'(!)=: — co . Mais ici se pose maintenant une question délicate.

SUR LES SÉRIES QUI PROCÈDENT SUIVANl' LES PUISSANCES D'UNE VARIABLE. 71

Supposons que f (1) existe et ait une valeur finie , peut-on en conclure que

lira/" (a;);. = i =/•'(!)?

Nous ne le savons pas. Nous n'avons pas rencontré un exemple qui eût montré que cela n'est pas vrai.

En posant

QO

on a

SnX"

oo

Dans le cas où la série ^ s„ est convergente , on a

lim ^2 + 2^3 + .-- + n.„+i

comme M. Kronecker vient de le démontrer *). Or on trouve

^^^^:^-r(a;) = (l-x)[s2 + 2«3X + 3s,ai2 4-...]

et l'on en conclut, d'après une proposition de M. Frôbenius^),

/•'(l)-limr(a;)x = i = 0.

Ainsi, lorsque la série ^ s» est convergente, la fonction f{x) admet

une dérivée qui est continue dans l'intervalle O^a;^ 1. Mais il reste douteux , si cela reste vrai , sous la seule condition que f (1) existe.

') Comptes rendus, t. CllI, p. 980.

^) Journal de Borchardt, t. 89, p. 262.