LU
(Acta Math., Stockholm, 9, 1886, 385- 400.),
Sur les racines de l'équation X„ = 0.
1. Nous aurons à invoquer dans la suite une proposition d'algèbre que nous allons établir tout d'abord.
Soit
X = £ i; UikXiXk 1 1
une forme quadratique positive des variables Xj, Xo, . . ■ , Xm.
On sait que les coefficients a,, sont positifs. Nous ajoutons maintenant la condition que les autres coefficients atk soient tous négatifs ou nuls.
Considérons les m équations linéaires
Nous supposons que les quantités |, sont toutes positives ou nulles. Dans ces conditions on peut énoncer la proposition suivante : „ Aucune des valeurs de x^, X2, ..., Xm tirées des équations (1) ne peut être négative, et si les quantités f,- sont toutes positives alors x^, x^, ■•.,Xm le sont aussi."
Dans la démonstration suivante nous ferons abstraction du cas trivial
dans lequel on a aussi
Xi — X^ — ■ . . — Xm — "•
On a
m mm
et il est clair par là qu'au moins un des a?, doit être positif car le second membre est positif.
Mais supposons que
soient négatifs ou nuls, et
^« + l> Xn•^•2| • • • ) Xm
positifs.
Dans la relation
(2) . ^iiXi=:I,I.ai!cXiXk-\- ^ Xi{auX,-^a2iXo-{- . ■ .-\-aniOCi) 1 1 1 «4-1
le premier membre est nul ou négatif. Au contraire dans le second
membre la première partie
£ D aUc XiXk 1 1
est nulle ou positive , et il en est de même de la seconde partie
£ Xi (ai ,• a;i + «2* ajg + . . . + a„i Xn).
Par conséquent les deux membres de la relation (2) sont nécessairement nuls tous les deux, ce qui exige:
La première partie de notre proposition se trouve établie par là. Pour démontrer aussi la seconde partie nous observons qu'en supposant
Xi ^— Xn -^— • . . ^— Xn ^^ U Xn -|- 1 » Xn-\-2i • • • > Xm
positifs les n premiers équations (1) montrent qu'on a
dès que l'un (et seulement un) des indices i, k surpasse n. Et ensuite il est clair qu'on doit avoir
Cette dernière conséquence démontre la seconde partie de notre proposition.
SUR LES RACINES DE L'ÉQUATION X„ =r 0. 75
Les équations (3) font voir que dans le cas exceptionnel que nous considérons on a
n n mm
1 1 H+ln+l
en sorte que X se décompose directement dans la somme de deux
formes quadratiques positives des variables x-^^,X2 a;» et Xn+i, Xn+2,
...,Xm. Le cas a^i = 0:2= . ■ • ^a^^O se présente alors dès qu'on prend f^ = |., = . . . = |„ = 0.
D'après ce qui précède il est clair que lorsque X ne se décompose pas directement dans la somme de deux ou d'un plus grand nombre de formes quadratiques d'un nombre de variables moindre que m , alors Xi, X2, . . . , Xm sont tous positifs, même dans le cas que quelques-uns des f, sont nuls.
Corollaire. Soit D le déterminant de X et désignons par Di* les mineurs de D en sorte qu'on a
D a;< = Il Dii + I2 I>2i + . . . -I- Im Dmi
alors aucun des mineurs Dit ne peut être négatif. Et si le cas exceptionnel examiné plus haut ne se présente pas, tous les Dit sont positifs.
2. Supposons que sur l'axe des abscisses 0 X on ait dans les points A et B dont les abscisses sont — 1 et -|- 1 deux points matériels fixes , la masse du premier en A étant a, celle du second en B, ;5 (a > 0, j8 > 0).
Imaginons encore n points matériels de masse égale à 1, qui peuvent glisser librement sur l'axe et placés entre A et B. Supposons enfin que deux points matériels se repoussent en raison directe de leurs masses et en raison inverse de leur distance. Dans ces conditions il y a une position unique d'équilibre pour les w points placés entre A et B, et si l'on désigne leurs abscisses dans la position d'équilibre par
(4) Xi>X2>Xs> . . .>Xn
ajj, X2, . • , Xn sont les racines d'une équation
(p (x) = 0 qp {x) étant un polynôme du degré n défini par l'équation différentielle (5) . . (l-a;2)<p"(x) + 2[a-^-(a + /î)x]9)'(a;) + Cç>(a;) = 0.
76 SUR LES RACINES DE L'ÉQUATION X,i ^ 0.
C est une constante dont la valeur est
M (n + 2 a + 2 /9 — 1) comme on le trouve en cherchant le coefficient de x" dans le premier membre de (5).
C'est là un cas particulier d'un théorème démontré dans ce journal , t 6, p. 321 et suiv. i)
3. Les racines x^, ajg, . . . , ^n dépendent de a et /î et l'on peut les considérer comme fonctions des variables a et /? qui doivent rester toujours positives.
Lorsque a et /5 varient d'une manière continue , a;, varie aussi d'une manière continue et comme deux racines ne deviennent jamais égales, leur ordre de grandeur fixé par les inégalités (4) ne sera jamais changé.
Nous allons démontrer les inégalités
En effet, les quantités Xi, ..., x„ dépendent de n et de j8 par les relations ~r „ 1 T ^ z~ ~r • • • "1 ^. ^ .' ; ~r ~ ^ .TT "i • • •
iï/t~^l Xi^^i. Xi^~' X-1 Xi Xi — i Xi Xi-^\
En prenant les dérivées par rapport à a on obtient pour les -y-^ le système linéaire suivant :
(8) . . . ■ a<i^-^ + «.2-x—^ + -- • + «'>» V =^ L1 ^ ' à a à a ' à a Xi-\- i.
où
"'"~ (Xi + lf^ {Xi-\f^ {Xi- X^f^ '-•'^ {Xi-Xi--^f^ {Xi-Xi + rf^- ■
\Xi Xn)
dik = «Ai —
{Xi — Xkf
Ce système rentre évidemment dans le type des équations (1) car la forme quadratique
est positive , et a^i + 1 est aussi positif.
Les valeurs de -r — , v , • • • > s^ sont donc toutes positives. a a o a va '^
On trouve de la même manière
Ici les seconds membres sont tous négatifs , et il en est donc de même
dXi
des valeurs des
4. Considérons le cas particulier a^ fi, en sorte que Xi est fonction de la seule variable a. Il est clair d'abord qu'on aura
Xi -{- Xn = X2 -\- X„- i = X.^ -\- Xn-2 = . . . = 0.
Ainsi en supposant n^2wi ou n = 2m-\- \ il suffira de considérer les racines positives
Nous allons démontrer qu'on a toujours
dXi
da
ii=l, 2, ..., m) En effet supposons d'abord n = 2m, on aura
"" +^~.+Ar + A^ + -- +
1 OC i "j~ L 00% —^ 1 <j X t 0(/% ^^ CC-t
CCi "^ CCi — 1 CCi ^^ CCi-l-\
OCi Xm OCi ~j~ X^
Xi -p Xi~\ Xi -j- Xi-^i Xi-j-Xfn
d'où l'on déduit
a, \ c* X-i 1 (t Xo I I Cl Xtn
da ' da da
2Xi 1-^?
en posant
aiie^aki = -
(Xi-\-Xkf {Xi — Xkf • (rr ^ •va "T" ■ ■ ■ I /„ „ . \2 "i~ ir,. . ^ . . ,\2 ~r ■ • ■ I
\Xi — X^" (Xi Xi — i) (Xi Xi^\) (Xi — Xm)"
Qi=.^ L^2 + ••■ + ^^ lI ,2 + .^ .l.^2 + ■•-^- ^
' (Xi-\-X^^^ '"^ {Xi-\-Xi-\f (Xi-\-Xi^-if ' ■■■^ (Xi-\-Xmf
Le système (11) rentre encore dans le type des équations (1) car Uik est négatif et la forme quadratique
est positive. Mais les seconds membres dans le système (11) sont tous négatifs et l'on a par conséquent
da Dans le cas w = 2 ?w + 1 on aura a;m+i = 0, et
XiA-l~^ X (12)
Xi ~|~ 1 Xi i ù Xi Xi X-i Xi Xi — \ Xi hvt4-l Xi Xn
"^ Xi-\-Xi'^"'^ Xi + Xi-l'^ Xi-\-Xi+l"'^ Xi + Xm
La seule différence avec les relations (10) consiste, comme on le voit,
dans le terme 75 — qui est venu remplacer le terme ^ Ce terme
2 a;,- ^ ^ 2 Xi
provient de l'action des deux points matériels dont les abscisses sont — Xi et 0.
dXi
da
On trouve les équations linéaires suivantes pour les
diC, , , dXm 2 Xi
"" = {Xi + If + {Xi - If + 2^ + ^' + ^' (i=l, 2, ... m)
a,fc = aki'= ■
{xi + aîfc)^ (a;,- — Xkf et l'on en conclut les inégalités (9) comme tout à l'heure.
5. Les démonstrations des propositions exprimées par les inégalités (6), (7), (9) que nous venons de développer, nous semble la plus simple si l'on n'a en vue que ces inégalités elles-mêmes. Mais nous avons retrouvé ces inégalités encore comme conséquences d'une proposition d'un caractère plus général , à l'occasion d'études sur la quadrature mécanique de Gauss.
6. Nous allons développer maintenant quelques conséquences qui découlent presque immédiatement de ces inégalités (6), (7) et (9).
Supposons d'abord
l'équation (5) devient
ainsi Xi est une racine de l'équation obtenue en égalant à zéro le polynôme X„ de Legendre.
Prenons ensuite
On a
(1 — x^) <p" (x) ■\-{l — 2x)(p' {X) -{-n{n-\-{)cp(x)~Q
ou si l'on pose
95 (X) cos -^<p = y,
80, SUR LES RACINES DE l'ÉQUATJON X„ = 0.
donc
et par conséquent Dans le cas
cos (w + ^) 9' 95 {X) = j '—
cos Y 99
(2i—l)n Xi = cos f— p •
sm-g^ (p
on trouve de la même manière
X = cos g? ,
sin !« + -g j «p
9? ix) = j
in -g
a;, = cos ^ — j—- Mais d'après les iiiéj^alités (6), (7) il est clair que la valeur de .c, qui correspond à 0=0-, ^= ~n doit être plus petite que la valeur de Xi
pour a = -y, /8 = -7 et plus grande que la valeur de Xi pour a = ^,
Ainsi on a la limitation suivante pour la racine .r, de l'équation
Cette proposition est due à M. Bruns qui l'a obtenue dans le tome 90 du Journal de Borchardt, p. 327.
7. Nous pouvons obtenir des limites plus étroites à l'aide de H'inégalité (9).
Prenons en effet
on trouvera
a; = cos 9? ,
cp {x) =:Q.OSn(p,
et en second lieu
on trouve
iCi =: COS ^- '—
X = COS q) ,
, , 8in (w 4- 1) œ> sm <p '
a;,- = COS
D'après les inégalités (9) on en conclut la limitation suivante d'une racine positive de l'équation X„ = 0:
CR^ ^^r. i^ ^ ^ (2 f— 1)71
Pour une racine négative on aurait évidemment Soit n=lO, on a d'après (A)
limites
limites 0,98883 0,95557
I 0,90097 Xç, 0,07473
( 0,73305 iCg 0,10956
( 0,50000 Xi 0,13466
et d'après (B)
limites
I 0,89101 Xo 0,04976
i 0,45399 Xi 0,03857
8. La proposition d'algèbre démontrée dans le n» 1 , ou plutôt le corollaire que nous en avons déduit, se trouve lié étroitement à une question qui se présente dans le problème de la distribution d'électricité sur un système de conducteurs.
Soient Aj, Ag, . . . , Am les conducteurs, e^, pg, • • • , ^'m leurs charges respectives et Vj , Y^, ■ ■ ■ , Vm les potentiels correspondants.
On a
(a) Yi = piie^-\-pi2e2-\- ...-{-pin.em
ii=l, 2, ..., m) et réciproquement
{fi) e.- = gn Vi + g.-2 V2 + . . . + Qim Vto
(Maxwell, Traité d'électricité et de magnétisme, § 87.)
La forme quadratique
l,i:qikXiXk est positive. Le coefficient positif qa est la capacité du conducteur A,tandis que 3,4 est un coefficient d'électricité induit et négatif.
Le système (P) rentre donc dans le type des équations (1), et d'après notre corollaire les coefficients du système (a) sont donc tous positifs, ce qui est bien connu et ce qu'on établit directement à l'aide de la théorie du potentiel.
Mais le système (/?) n'a pas la même généralité que le système (1) car on a entre les coefficients qtk les relations
