Supposons d'abord

s.>0 (i=l, 2, ..., m) alors on a

Di,>D.ft.

Il suffira évidemment de faire voir que D^ > Djg- A cause de D aJi = Il Du + ^2 D21 + . . . + I™ D™i cela revient à montrer que pour

fi = + l, ^2 = -l, ^. = 0

la valeur de a^i tirée du système (1) est positive. Or on a

m mm

2 Oîi I,- = Xi — a^a = 2 2 Uik Xi Xk

d'où l'on conclut d'abord que les Xi ne peuvent pas être tous nuls ou négatifs , ou bien tous nuls ou positifs et ensuite

Donc si «i était nul ou négatif, x.j serait négatif. Supposons donc que

Xi, rcg, ..., a;„, (w > n ^ 2)

soient nuls ou négatifs, et

Xn-\-\i Xn-\-2r • • • i ^m

positifs.

On devrait avoir

m n mm

2 ^i Xi = 0 = 'S Xi{an + hi ^n +1 -j- . . . -j- Umi Xm) -\- ^ 2 UikXiXk n+1 1 n+ln+1

ce qui est impossible car le second membre est positif. On a donc nécessairement Xj > 0 ou

I>ll>Di2-

Il est clair maintenant que dans le cas

on doit avoir nécessairement

car un changement infiniment petit des Uik suffit pour rentrer dans le cas Si > 0.

10. Cherchons encore les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'on ait

Dii = Di2- D'après ce qui précède il est clair qu'au moins un des Si doit être nul mais cela ne suffit pas.

En prenant comme tout-à-l'heure

fi = +l, l2 = -l, l. = 0

la condition Dj , := Djo revient à x^ = 0, et les inconnues x.2, x-^, . ■ . , x„ se trouvent déterminées par le système

am2 ajg + am3a;g + . .+ûtmma;m= 0.

Deux cas sont à distinguer.