II. La forme
«1 rci = 2 li = 0
2 I,aikXiXk
se décompose directement dans la somme de deux ou de plusieurs formes quadratiques.
Alors les variables
se décomposent en plusieurs groupes. Soit
le groupe dans lequel se trouve x^-
Le système (1') se décompose en deux systèmes relatifs aux deux groupes de variables
^21 "^S' • • • I •'''* > Xn + ly • • • ) -^m
et on voit qu'on aura :
Xn+l = Xn + 2=^ ■ ■ ■=Xm = 0.
La relation
permet donc de conclure:
(b) «'2 = 0, Sq = 0, ..., Sn = 0.
Réciproquement , si les conditions (b) sont vérifiées et qu'en outre on a identiquement :
mm n n mm
^ XaikXiXk-='^ ^ttikXiXk-}- 2 2 OikXiXk
alors le système des valeurs de X2, x^, . . . , x,n tirées des équations (1'), joint à la valeur Xi = 0, satisfait au système (1) et l'on a par conséquent Dii:=Di2- Pour le montrer il suffit évidemment de vérifier la première des équations (1), ou bien l'équation obtenue en prenant la somme des équations (1). Or cette dernière
se trouve vérifiée évidemment.
Nous avons supposé ici w < m , pour n = m on rentre dans le premier cas; et l'on a le résultat suivant.
Les conditions nécessaires et suffisantes pour que
consistent dans ce que , pour une valeur spéciale de n
2 ^ n ^ m on ait i
(I) S2 = 0. Ss = 0, ..., s„ = 0
et
I«2,n4-1 ^ fl2,n + 2 = • • • =«2,m = 0, p3,n + l = Œ3,» + 2 = . . . =rt3,m ^^ 0,
|fln,n + l — 0!n,n + 2 — ... — Cln,m — 0.
Dans le cas w =: m les conditions (II) disparaissent.
11. Supposons les conditions (I) et (II) remplies, il n'est pas permis de conclure que les valeurs de Xq, . . . , Xn sont négatives, car la forme
E I.aikXiX!c 2 2
pourrait encore être décomposable. Mais si cela eut lieu , il est clair que les conditions (I) et (II) seraient encore satisfaites pour une valeur plus petite du nombre n.
Si donc nous supposons que n soit le plus petit nombre pour lequel les conditions (I) et (II) sont satisfaites , on aura
et à cause de
Dxi = Di, — D2,-
nous pouvons donc ajouter :
la condition Dn:=Dio entraîne nécessairement les relations
pour i = 2, 3 , . . . , n , pour i > M.
Dii<D2.
Dh = D2,-
88 sur les racines de l'équation x„ = 0.
Note.
Après avoir terminé la rédaction de cet article, je viens de prendre connaissance d'une note Sur les racines de certaines équations par M. A. Markoff, (Mathematische Annalen, T. 27, p. 177). L'auteur y déduit d'abord la limitation des racines de l'équation X„ ^ 0 déjà obtenue par M. Bruns, et ensuite il obtient aussi et pour la première fois , la limitation plus étroite (B).
La démonstration que j'ai donnée est différente de celle de M. Markoff, mais une seconde démonstration à laquelle j'ai fait allusion seulement dans le n°. 5, ne diffère pas au fond de celle de cet auteur.
