LUI

(Bull. Sci. math., Paris, sér. 2, 11, 1887, 46 — 51).

Exemple d'une fonction qui n'existe qu'à l'intérieur d'un cercle.

La notion d'une fonction d'une variable imaginaire pour laquelle le domaine de la variable est nécessairement restreint par la nature même de la fonction est d'une si grande importance qu'il ne semble pas inutile de donner un exemple d'une telle fonction , même dans un Cours où il serait impossible d'exposer les recherches de MM. Weierstrass, Mittag- Leffler, Poincaré sur ce sujet.

Peut-être trouvera-ton l'exemple suivant assez simple pour remplir ce but.

1. Soit a une quantité dont le module est égal à l'unité On a

La série est convergente sous la condition mod ^! = 0 < 1, et le cercle de convergence est un cercle C décrit de l'origine comme centre avec un rayon égal à l'unité.

En remplaçant chaque terme de la série par son module , on voit que

a — z ~ l — Q Prenons maintenant une suite infinie de quantités

dont le module est égal à l'unité, et posons

90 EXEMPLE d'une FONCTION QUI N'EXISTE QU'A L'INTÉRIEUR D'UN CERCLE.

En supposant mod « = g < 1 , la série est évidemment convergente et l'on a

Développons suivant les puissances croissantes de ^; , il vient

La série double restant convergente quand on remplace chaque terme par son module, on peut prendre les termes dans un ordre quelconque. En particulier, il est permis d'ordonner suivant les puissances de s ; la fonction f{z) peut se mettre sous la forme

(2) f{z)='^CnZ\

et le rayon de convergence de cette série est égal à l'unité. Il est clair aussi que le module d'un coefficient quelconque Ck ne peut surpasser la

^ 1 constante T^ ~3 = 1»202

2. Nous allons étudier maintenant la manière dont varie la valeur de f{z) lorsque z s'approche d'une certaine manière de la circonférence du cercle de convergence C.

Mais il faut d'abord préciser les valeurs des constantes

Si l'on représente ces quantités dans le plan par des points

"il ■'• 2 ) • • • > ^n > • • •

ces points se trouvent sur la circonférence du cercle C.

Nous prenons a^ , a^ de manière que Pj et Pg se trouvent aux extrémités d'un diamètre du cercle.

Nous choisissons ensuite a^, a^ de manière que la circonférence se trouve divisée en quatre parties égales par les points P^ , Pg , Pg , P4.

EXEMPLE d'une FONCTION QUI N'EXISTE QU'A L'INTÉRIEUR D'UN CERCLE. 91

En continuant ainsi, on choisira Oj, ag, «7, a^j, de manière que les points Pj, P.,, . . ., Pg sont les sommets d'un polygone régulier de huit côtés inscrit dans le cercle.

Généralement pour A; = 2"-i, on devra prendre

de manière que la circonférence C se trouve divisée en 2k parties égales par les points Pj , P2, . . . , P2ft.

Ayant défini de cette manière la suite infinie

il est clair qu'on trouvera toujours un nombre infini de points P* sur un arc quelconque de la circonférence, si petit qu'on voudra le choisir. Il importe de trouver une limite inférieure de

mod (or — as) {r>8) Le nombre Or doit se trouver dans une des suites

Ctk + l, CCk + 2, • . ., O2A:,

(A = 2«-i), et il est évident qu'on peut prendre alors pour cette limite inférieure le côté du polygone régulier de 2 A cotés inscrit dans le cercle,

mod {ttr — a.,) ^ 2sin

Us) > 2 sin -^■

et, par conséquent,

mod {ttr

Pour simplifier, nous remarquons que l'on a

2 sin a; > x,

tant que x ne surpasse pas ^ ; donc

mod {(ïr — «s) > (r > 8).