Envisageons maintenant un nombre au quelconque et posons

92 EXEMPLE d'une FONCTION QUI N'EXISTE QU'A L'INTÉRIEUR D'UN CERCLE.

M étant réelle et positive. Le point P qui représente z se trouve alors sur le rayon OPa En faisant tendre u vers l'unité, en croissant continuellement, le point P s'approchera indéfiniment du point P^ de la circonférence C.

On a, d'après (1),

ou bien

(4) ^(«/iW)-^(i^^) = F,(M) + Fo(M),

en posant

fc+ 1 " \^^ ~- «* "/

Dans l'intervalle 0 ^ m ^ 1 , la fonction Fi (m) est évidemment finie et continue ; nous allons voir qu'il en est de même de Fg (m). Remarquons pour cela d'abord que

mod(-^*^)<--.,-i ,.

\an — akuj— mod (a„ — ak)

Pour le mettre en évidence , joignons par des droites le point P„ qui

représente a„ avec 0, P et P* et posons P^OPn = (p. A cause de m ^ 1 , on a 4m2 sin2 1 ç' g (1 + uf sin2 |ç, -f (i — m)'-^ cos^ ^<p = 1 — 2m cos ç) + m'^;

Kl — 2m cos ç) + m2 - 2 sin ^ 9?

Mais cela revient à la limitation indiquée , car modafcM = OP ^m.

mod (a„ — a/( m) =PP„ =Kl — 2m cos g^ + w^ mod(a„ — Uk) = PnP* = 2sin |ç).

Dans la série Fo (m) , l'indice w est plus grand que A, et , à l'aide de (3), on trouve , par conséquent ,

ttkU

mod -

n^ \an — a* M,

)^ nn^'

EXEMPLE d'une FONCTION QUI N'EXISTE QU'A L'iNTÉRIEUR D'UN CERCLE. 93

et cela dans tout l'intervalle 0<m< 1. La série V* — s étant conver-

gante, on en conclut, d'après un théorème de M. Weierstrass (voir Tannery, Théorie des fonctions d'une variable, p. 135), que la série

est absolument et uniformément convergente dans l'intervalle 0 ^«^ 1. La fonction Fg (m) est donc finie et continue dans le même intervalle, et lorsque n tend vers l'unité , Fj (m) et Fg (m) tendent vers les valeurs finies Fi(l) et FgCl). En posant F^ (1) + F2(l) = A, l'équation (4) nous montre donc que

lira

^(«*")-rB''r^)L=r^

On voit par là que , lorsque la variable z s'approche indéfiniment de la valeur au en conservant constamment le même argument que ait, alors la partie réelle de

est positive et croît au delà de toute limite Au contraire, la partie purement imaginaire de f{z) tend vers une limite fixe.

4. Soit maintenant («q, Pq) un point quelconque à l'intérieur de C ; on a

et le domaine de convergence est un cercle Cq décrit de Pq comme centre avec un rayon au moins égal à 1 — mod z^.

Mais il est impossible maintenant que ce rayon soit plus grand que 1 — mod^o. de manière que l'intérieur de Cn tomberait en partie en dehors du cercle C.

En effet , dans cette supposition une partie de la circonférence de C se trouverait à l'intérieur de Cq. Prenons un point (a*, Yk) sur cette partie de la circonférence C (il y en a une infinité). La valeur de f\z) devrait être finie pour 2 = 0* et, lorsque le point z s'approche de P* suivant le

94 EXEMPLE d'une FONCTION QUI N'EXISTE QU'A L'INTÉRIEUR D'UN CERCLE.

rayon vecteur, la valeur de f{z) devrait tendre vers cette valeur finie de /'(ai).

Mais nous savons que cela n'a pas lieu, la valeur de f{z) ne tend pas vers une limite finie , parce que sa partie réelle croît au delà de toute limite.

En considérant la fonction f{z) , le cercle G forme donc bien la limite naturelle pour le domaine de la variable z. Il est impossible de continuer cette fonction en dehors de ce cercle.

(Nouv. ann. math., Paris, sér, 3,6, 1887, 210 — 215.)

Note sur la multiplication de deux séries.

Supposons qu'on ait deux séries convergentes

s = Mj -f «2 + «3 + . . . ,

Lorsque ces deux séries sont absolument convergentes , on sait que la série ^UaV^ formée par les produits deux à deux de leurs termes, écrits dans un ordre quelconque , sera absolument convergente et égale à at (Jordan, Cours d'Analyse, t. I , p. 110).

Dans la suite , nous supposons que la série

t = Vi + V2 + V3-^...

est absolument convergente ; mais quant à la série

S = Mi + M2 + «3+ •••>

nous ne supposerons rien de plus que sa convergence.

Dans ces conditions, la série XUaV^ n'est plus nécessairement absolument convergente , et par conséquent il faudra préciser l'ordre dans lequel on effectue la sommation

Écrivons pour cela les termes ««v^ dans le Tableau suivant

Mit),, M0V1

UiV^, ...,

»sv^,

96 NOTE SUR LA MULTIPLICATION DE DEUX SÉRIES

OU, plus simplement, en indiquant les termes UaVp par des points

Traçons maintenant dans ce Tableau (A) une courbe C qui est coupée en un point seulement par une droite horizontale , et prenons la somme de tous les termes u^vp qui se trouvent du même côté de cette courbe que Mi«i.

Si maintenant la courbe C se déforme d'une manière quelconque en s'éloignant indéfiniment, mais à la condition d'avoir toujours une seule intersection avec une droite horizontale , nous aurons fixé par là l'ordre dans lequel on doit prendre les termes de la série XUaV^. Nous allons faire voir qu'on a alors

Soit L la limite supérieure des modules des sommes

Wl + «2 + W3,

et e„ la limite supérieure des modules des sommes

Un+\,

Mn + 1 + M„ + 2i

Mn + l + Un + 2 + Mm + S,

Mn + 1 + Mn+2 + Mn+3 + M„ + 4,

NOTE SUR LA MULTIPLICATION DE DEUX SERIES

Alors L est finie et s„ converge vers zéro en même temps que - , parce

que la série s = m, -f "2 + «g + • • • est convergente. Soit enfin »;„ la limite supérieure des sommes

mod V n + 1 1

mod v„+i -\- mod v„-\.2,

moà v„ + i -\- mod Vn+2 -{- mod Vn+3,

Comme nous admettons que la série

T = mod Vi + mod ^2 + ^'^^ % + • • •

est convergente, >;„ converge encore vers zéro en môme temps que — Posons maintenant

S„ = «1 4- «2 + • • • + Wn , fn = Vi-\-V2-^...-\-V„,

et prenons dans la série EUaVj} un nombre de termes assez grand pour y retrouver tous ceux du produit Sntn- La courbe G enveloppera alors le carré

et, si nous prolongeons le côté horizontal inférieur jusqu'à l'intersection avec C , nous aurons

NOTE SUR LA MULTIPLICATION DE DEUX SÉRIES

(2m„V^)c =Sntn + P + Q.

P= Vi{u„ + i-\-U„ + 2 + .■■) + î>2 ("« + 1 + W n + 2 + • • •) +

Q=- r„ + i(Wi + M2 + M3 + •• )