II. Prenons les séries
En multipliant , on peut mettre le produit sous la forme
en posant
hin) = :Lnd)9[fj,
d parcourant tous les diviseurs de n. Les courbes C sont évidemment des hyperboles équilatères.
D'après notre proposition, lorsque la convergence de l'une des séries F (s), G (s) est absolue, alors la série
sera convergente et égale à F (s) G (s).
Nous énoncerons encore la proposition suivante :
Supposons que les séries F (s) , G (s) soient convergentes pour s^a , elles seront encore convergentes pour s^ a. Si maintenant la convergence n'est pas absolue, on pourra cependant déterminer deux nombres positifs /î, y, tels que la série F (s) soit absolument convergente pour s = a -|- /?, et la .série G (s) absolument convergente pour s^^a-{-y.
Alors la série
est convergente et égale à F (s) G (s) pour les valeurs de s ^ a -f
Cette série est aussi convergente et égale à F (s) G (s) pour s'^a -\- ^ •
Lorsque ^ ou / est égal à zéro , on retombe sur la proposition démontrée plus haut.
(Acta Math., Stockholm, lo, 1887, 299 — 302.)
Table des valeurs des sommes Sa = y^ w-^
Dans le Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes (tome II, pag. 432) , Legendre a donné avec 16 décimales les valeurs de
Cette table de Legendre ne contient pas de graves erreurs , mais la comparaison avec nos résultats montre que dans 6 cas les valeurs de Legendre ont besoin d'une correction d'une unité de la dernière (seizième) décimale ; ce sont les suivants :
"^5) '^Ti '^lO) "^111 ^16» "35»
corrections — 1, -)- 1. + 1. + 1» + l» + L Ces nombres S^ figurent dans le développement
log r(l +x) = -Cx-{-^ ^--^ Skx",
et la table de Legendre a ainsi servi de base au calcul des coefficients du développement de la fonction entière [/^(a;)]"^ entrepris par M. Bourguet. (Acta Mathematica t. 2 , p. 271 et suiv ).
La disposition de la table suivante n'exige aucune explication, mais nous devons indiquer l'approximation des valeurs inscrites dans le tableau.
On a donné le résultat brut d'un calcul fait avec 32 décimales. Chaque nombre est la somme d'un certain nombre (trente au plus) de nombres
