Considérons une forme quadratique ternaire

ç> = aX2 + 6Y2 + cZ2 + 2dYZ + 2cZX + 2/'XY et la forme adjointe

ç>i = AX2 + BY2 + CZ2 + 2DYZ + 2EZX-f 2FXY,

134 SUR l'équation d'euler.

qui peut s'écrire aussi

cp^:

Nous suivons maintenant la méthode d'Euler: ainsi nous prenons pour point de départ une équation doublement quadratique et symétrique à deux variables x et y.

Pour cela, nous annulons la forme <p après y avoir effectué les substitutions

oc^y 2 '

Z = xy.

Il vient ainsi

(2) . a + ^ b [x -^ yf -\- cx"y" — dxy {X -\- y) + 2exy - f{x -\r y)==0 ,

ce qu'on peut écrire aussi

0 = Xo 4- Xi y + Xo y' = Yo -f Yja; + Y,x% Xo = a — fx-\-^bx\ Xi = - A + (2 e + i &) x — d x2, X. = \b — dx-\-cx\

Yq, Yj, Y2 étant les mêmes fonctions de y. On en tire l'équation différentielle

^^ __ j, ^Ay =0.

V'X?-4XoXo /y!-4YoY<,

et, si l'on effectue maintenant l'identification

X? - 4 X0X.3 = aoo;^ + 4% x» + 60-00:2 + éago; -f «4,

on trouve

aQ = d^ — bc, ai^=cf—de,

(3) '6ff2 = 4(fc2 — ac)4-2(6e-rf/'),

i 03=: «d — ef,

Il s'agit maintenant d'exprimer a, b, c, d,e,f h l'aide de «q. «i.«2.«s."4 et d'une quantité indéterminée m qui sera la constante arbitraire.

SUR l'Équation d'euler.

Pour cela , nous remplaçons la troisième des relations (3) par celles-ci

ac = a2-{-m,

be — df=a2

On a donc maintenant les six équations

'bc — (P =A = — Uq, \ac — e^ = B ^ — a., — »« , ]ab — /2 = G = — a.i, \ef — ad=D = — a^, \df — 6e = E = — a2-\-2m, \de — cf=F = — «1.

Or la détermination de a, b, c, d, e, /"par ces relations n'offre aucune difificulté: en effet, on sait que la forme adjointe de (p^ est simplement égale à A g?, A étant le déterminant de q>, donc

Aa = BC — D2, Ad = EF — AD,

A6 = AC — E2, Ae = DF — BE,

Ac = AC — F^, A/-=:DE — CF.

On obtient maintenant l'intégrale générale cherchée en substituant ces valeurs de Aa, ... dans l'équation (2), qu'on multipliera d'abord par A.

Il est clair par là que la relation cherchée s'obtient simplement en annulant la forme adjointe de gsj et en effectuant les substitutions (1). Dans la relation ainsi obtenue

il suffit de restituer, au lieu de A, B, tenir le résultat annoncé (o).

. , leurs valeurs (4) pour ob-

3. Supposons que l'on détermine la constante m par l'équation cubique

= — 4m3 + Sw + T = 0,