SUR L'ÉQUATION D'EULER
OÙ
et
S = Oq a^ — 4 Oj O3 -f- 3 al
Un
sont les invariants de X = o^x^ -{- ia^cd^ -}-... -\- a^.
Alors on sait, d'après une propriété connue des déterminants (ou des formes quadratiques) , que le premier membre de (a) est un carré parfait. Ainsi la relation entre x et y se réduit dans ce cas à une équation de cette forme
P + Q{x-\-y) + rxy ou
q -\-rx'
relation qui doit toujours satisfaire à l'équation différentielle.
On obtient ainsi, correspondant aux trois valeurs de m, trois substitutions linéaires qui transforment en elle-même la différentielle ellip-
tique ^ï^—. On voit que cette détermination n'exige pas la résolution
de l'équation X ^ 0.
Pour m = 00, l'équation (a) se réduit à {x —yy^=:0 et l'on obtient ainsi la quatrième substitution linéaire x — y = 0, qui transforme en elle-même la différentielle elliptique. Les trois autres peuvent s'écrire
xy
«2 + in aj — 2 m u^
m étant une racine de l'équation cubique.
4. Considérons encore le premier membre de (a). En posant x=:y et changeant de signe, on trouve facilement
Co 4" "*
x" Qç, — 2 m
= H-f mX,
SUR l'Équation d'euler.
H = («0 «2 ~ *i) ^ + • • • étant le hessien de X. [Voir aussi Darboux , Journal de Liouville, 2« série, t. XVIII, p. 220 ').]
Si l'on détermine encore m par l'équation cubique, H -f- wiX devient un carré parfait, et l'on a, par exemple,
Kh 4-mX =
j/ttoOg — af -\-aQm
Il est clair par ce qui précède qu'on peut énoncer cette proposition : Soit
ax^ + 2^x-{-y
un polynôme du second degré, qui ne diffère que par un facteur constant de VH.-\- mX.
Alors , en posant
axy-\-fi(x-^y)-{-y = 0,
on aura une substitution linéaire qui transforme en elle-même la diffé-
d, or rentielle elliptique . ,— •
5. D'après ce qui précède , le premier membre de (a) changé de signe devient égal à R-{-mX en posant x^y. Or soient h et f les secondes polaires de H et de X respectivement, h-\-mf sera une expression doublement quadratique et symétrique en a; et «/, et qui se réduit à H -f- »î X pour x = y.
Mais d'après une remarque due à M. Halphen et qu'on vérifie directement , deux expressions doublement quadratiques et symétriques en X et y, qui sont égales pour x = y, ne peuvent différer que par un terme X{x — yf.
') Nous profitons de cette occasion pour signaler les corrections suivantes: dans les valeurs de H et de K, formule (7) page 221, il faut remplacer partout Y par — Y, et page 223, ligne 7 en descendant, il faut faire le même changement. Ces corrections ont aussi une légère influence sur les art. V et VI du Mémoire de M. Darboux.
