SUR L'ÉQUATION D'EULER
Dès lors , un calcul facile montre que l'on peut écrire la relation (a) sous cette forme
h + mf-\-{^S-m^) (.c - yf = 0.
Cette forme de l'intégrale de l'équation d'Euler est due à M. Cayley ; Laguerre l'a retrouvée de son côté dans le Bulletin de la Société mathématique de France, t. I.
(Paris, C.-R. Acad. Sci , 107, [888, 617—618).
Sur l'équation d'Euler.
(Note, présentée par M. Darboux.)
On a représenté déjà de bien des manières l'intégrale générale de l'équation dx ^ dy
L'une des formes les plus élégantes semble être celle-ci
xy
flo — 2C
xy «2 — 2C Og a^
C étant la constante arbitraire. Sous cette forme, on voit directement qu'en déterminant C par l'équation cubique
Oq tti ttg — 2 C
Oi 03 + C «3 =0,
c'est- à dire
4C3 — se — T = 0,
le premier membre de (A) devient un carré , et la relation entre xety devient de la forme
P + q{x + y) + rxy = 0 ou
^ q-\-rx
SUR L EQUATION D EULER.
On obtient ainsi les trois substitutions linéaires qui changent en elle-même la dififérentielle elliptique. Ces substitutions linéaires peuvent s'écrire, par exemple,
xy tto — 2C ttg I
Si l'on pose ici x = y, le premier membre devient un polynôme du second degré en a; qui ne diffère que par un facteur constant de KH-j-CX,
H = («0 «2 — «i) ^ + • • • étant le hessien de
X = ao a'* + 4 ai a;^ -|- . . . .
L'on voit que, réciproquement, si l'on connaît un polynôme ax^-\-2/ix-^y proportionnel à KH + CX, axy -\-ft{x-\-y)-\-y^^O sera l'une des substitutions linéaires qui chan-
fl OC
gent en elle-même la différentielle elliptique .-,= '
(Paris, C.-R. Acad. Sci., 107, 1888, 651—653.)
Sur la réduction de la différentielle elliptique à la forme normale.
(Note, présentée par M. Darboux.)
1. On effectue ordinairement la réduction de la différentielle dx
à la forme normale
dy
(où S et T sont les invariants de X) , soit en établissant entre a; et y une équation doublement quadratique, soit à l'aide d'une substitution liné-
aire x =
yy ■\-d On peut présenter cette réduction sous la forme suivante :
L'intégrale générale de l'équation différentielle
(1) est
dx
— xy
dy
VÀv^ — Sv — T
hy
— xy
c étant la constante arbitraire.
