Soit
V„=:C0SW9^, QOS(f)=X,
y„ est un polynôme du degré » en a;, et
En posant on trouve
X = C0S2 M + 8in2 M COS v/ ,
j-~ = 2 sin M COS u (COS v — 1) — " ,
dx
-^ = -8in2M8inv^^^,
-5^ = 4sin2Mcos2M(cosv-l)2'^" + 2cos2M(cosv-l)'^
d^ V„ d^ V ri \T
ô^ = sin< M 8in2 V. -— ^ - sin2 m cos v. ^.
f UX dx
En substituant ces valeurs dans l'expression
et en déterminant « et ft par la condition que le coefficient de ^"soit égala 1 -x', on obtient ^*^
4 dM2 '"sin^M d>2 ^2 y ]
~ '^ ~ ^^ ^dï?" ■" 2 ^^^^ ^ " + '^''^ ''' ~ <^^^ 2 M COS V) ^-
178 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R^ — 2 R r COS «p -f r^] - 1.
et ensuite
4 d u2 "•" sin^ M d v^ "■ 4 sin u cos M d M dx^ dx '
donc, d'après (20),
.on 1 ^1?4. 1 ^'I?-L 1^ ^I«4-n2V =0
^'^^' ' • 4 dM2 'f'sm^M dv^ "'"2sin2M ôm^
Mais il est clair qu'on peut développer V„ suivant les cosinus des multiples de y> en posant
(22) . . . V„ = 53 2R"cosiv, t = 0, 1, 2, ..., w.
On trouve, en portant ce développement dans l'équation (21), 1 d^Br I 1 dRr I /, . A\B^-n
4 dM2 •" 2 8in 2 M d M ^ \ sin^ u
ou , en posant Rf = (sin m)^' S?, sin^ m = < ,
(28) . .<(l-0^4-(2î + l)a-0^;+(n'-'-i^)Sr = 0;
d'où l'on conclut
Sr = C^(i — w, i + n, 2i + ], 0
et
Rf = C (sin M)2' ^ (z — w , t ■ + " , 2 z 4- 1 , sin^ u).
La détermination de la constante numérique C s'effectue encore sans difficulté en comparant les coefficients de r dans la formule (22). On obtient ainsi le résultat
/ cos (p = 0082 u 4- sin2 u cos v ,
Z' ' , n (n + i — 1) ■ ov.,
,. ^n(n-i)-rn^)'^" "
X S'(î — w , ï + w, 2 1 -f 1 , sin^ M) cos i y>.
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R^ — 2 R r C08 gs -f r^ - ^ 1 79
9. On doit à Hansen un résultat analogue qu'il sera bon de rappeler
X„ (cos^ M cos a; -f- sin''^ u cos y) — ^' ^ * ^"* cos2< « sin2* 1
' X ^{i +* — Wi î + ^' + w + l) 2^:4-1, sin^ w) cos ix cos t y.
L'analyse de Hansen est très compliquée, mais M. Tisserand a fait voir (Comptes rendus, t. XCVII, p. 815) qu'on peut obtenir cette formule d'une manière analogue à celle qui vient de nous donner le résultat (24).
Mais , quoiqu'on parvienne ainsi d'une manière élégante à établir ces formules (24) , (25) , il nous semble pourtant que la véritable origine analytique de ces formules et des expressions
cos^ w -j- sin^ u cos v , cos^ M cos rr + sin^ w cos y
reste à trouver. Est-il possible d'arriver à ces résultats par une théorie analogue à celle du potentiel ? C'est là une question que nous avons cru utile de poser au moins.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , io8, 1889, 605-607.)
Sur les dérivées de séc x.
(Note, présentée par M. Hermite.)
