Soient f=séGX, « = tangua;: on obtient facilement
f =séca;tanga;, f"=sécx[l-\-2z], /•'"= séc X tang a; [5 + 6«] ,
Il existe, entre les coefficients des polynômes en z que l'on obtient ainsi, des relations remarquables dont nous allons indiquer la nature. Considérons les dérivées d'ordre pair et écrivons
f =:sécx[ao]i
f" = séc X [tti 4- ^1 2] .
f(i)= séc a; [ttg + &2 « + ^2 «^] <
en sorte que
sec a;— 2^ j . a . 3. . .(2n)"
La forme quadratique à une infinité de variables
SUR LES DERIVEES DE SEC a.
est égale à
+ (C2 Xo + .
La considération des dérivées d'ordre impair donne lieu à une proposition semblable.
2. On rencontre de^ relations semblables en considérant les dérivées de tang x, et des fonctions elliptiques sin am x, cos am x, A am x.
Nous ferons connaître prochainement la démonstration de ces propriétés, qui sont liées intimement à certains développements en fraction continue dont voici un exemple :
Soit
cos am X
on aura
e- ^* cos aniaa« = ^ — „ii'T :^
Cq Cl , Cy
x + .. , (2n-lf
La série est divergente , mais la fraction continue est convergente et représente l'intégrale.
(Paris, C.-R. Acad. Sci., io8, 1889, 1297 — 1298.)
Sur un développement en fraction continue. (Note, présentée par M. Hermite.)
Considérons le développement bien connu en fraction continue de l'intégrale
-l' JM
- dz,
où f(z) ne change pas de signe, et posons
/c^ étant la n*«"« réduite.
Alors R„ est le minimum de la forme quadratique
fp \X-^ f Xo I • • • ? Xrt)
==C :l^-\l+x^{x-z)^-x,^x-^f + .. JrXn(x-^fJdz.
La vérification de ce théorème n'offre pas de difficulté. On peut déduire de là facilement
lira R„ = 0 , « = 00 ,
tant que l'intervalle (a, b) est fini.
Mais , dans le cas 6 := 00 , on n'a plus nécessairement lim R» = 0. Ce-
pendant nous avons reconnu que cela a lieu encore dans un grand nombre de cas, notamment lorsque f(z) est de la forme
Il est clair aussi que , lorsqu'on a lim R„ := 0 pour une forme particulière de f{z), cela aura lieu encore en remplaçant f(z) par F (a), où
Y(z)<Af(z),
A étant un nombre fixe.
Enfin ces considérations s'appliquent encore si, au lieu de l'intégrale I , on considère une somme
X — 6i a; — b.2 X — 63 composée d'un nombre fini ou infini de termes.
(Ann. Fac. Sci., Toulouse, 3, 1889, H. i— 17)
Sur la réduction en fraction continue d'une série procédant suivant les puissances descendantes d'une variable.
