Soit

une série procédant suivant les puissances descendantes de x. Il est clair qu'on pourra , en général , la transformer en fraction continue de la manière suivante :

En désignant alors par

M fo £2 ''0

Qi ~ a; ' Q2 ~ a; -f Cj '

les réduites de cette fraction continue, le développement de q~ suivant

les puissances descendantes de x donnera une série dont les n premiers termes coïncident avec ceux de S.

La fraction continue F peut se transformer encore en F' (8) .... F' =

Co

a; + Ci

<àC2

CgC*

Pi c P'

et, en désignant par == — ^■', .... —, ... les réduites de cette se-

^ ^ Qi' x + cy' ' q;,'

conde fraction continue, on a identiquement

Pn P2n

2. Il est clair que les coefficients c,,, Cj, . . . , c„, ... sont des fonc-

tions rationnelles de a^, a^, de Oq , Oj , . . . , On.

an , ... ; Cn du reste , ne dépend que

Posons

Bo = l

on aura

Oo

On-

Un ■

. On

On

On+l

Cy ^ fly,

An + l Bn-] A„B„

La démonstration de ces formules ne présente aucune difficulté, et nous ne nous y arrêterons pas , renvoyant le lecteur qui désire plus de détails sur ce sujet aux Mémoires suivants :

Frobenius und Stickelberger, Ueber die Addition und Multiplication der elliptischen Functionen. (Journal de Borchardt, t. 88.)

Frobenius, Ueber Relationen zwischen den NâherungsbrUchen von Potenzreihen. (Journal de Borchardt , t. 90.)

3. Mais le problème de la transformation de la série en fraction continue est susceptible d'une autre solution que nous allons développer.

Envisageons d'abord le problème inverse , c'est-à-dire cherchons à exprimer réciproquement les a„ au moyen des c„. Nous proposons, pour ce problème , la solution suivante :

Calculons d'abord une série de quantités a,,*,, fii^k d'après les formules suivantes

Iao,o = l, ai,fc = 0 lorsque i> k, i8,fc = 0 lorsque «>*; fio,k = ao,k + C2 a\^k ,

A.k^ai.fc +C4 «2, A.

\^i,k = a«,fc + C2t-f-2a» + l,*i

lao,k + \ = Cl /?(),*,

|ai,i + i = Ca^i.k -\- ^o,k)

/^//x Ia2,fe + l = C5^2,A + /îl,A,

]ai,k+l = C2J + 1 A',fc + /^i-l.fc»

Si l'on dispose ces quantités dans le Tableau suivant:

jSo,2 1*1,2 /*2,2

Pi, S

on voit que chaque colonne verticale se déduit de celle qui la précède, et , en effectuant le calcul , on a

i 1 I 1 1 Cl I Cl + Cg , C? 4- Cl Cg ! C? 4- (| + 2 Cl Cg 4- C2 Cg I . . .

Cl 4- Cg 4- Cs

C, 4- Cg 4- Cs 4- C^

Ceci posé, les quantités cf„, ... s'expriment au moyen des a,,*, ^8^,4, ainsi qu'il est indiqué par le théorème suivant :