Pour démontrer ce théorème , soient
^ = Co[«o,oXo + ao,iXi + ...J + CoCiC2[aiiXi-)- . J^
B = CoCi[/8o,oXo + ^o,iXi + ...]2
+ CoCiC2Cg[/Si,l Xi + ...]2
Ce sont là des formes quadratiques qu'on pourra mettre sous les formes suivantes
A = ^^A.,*X.Xfc,
B = ^ y^ Bi,*X<Xft.
Nous remarquons d'abord que
A,-|-i,fc = Bi,4.
En effet, la valeur de A,+i,i est
Co «0,1 + : «o,A + Co Cl Ca ai, + i Oj^^. + Cq Ci C2 Cg C^ a^^.-^j Oo^^ + . . • , c'est-à-dire, d'après les relations (7"),
(8) Coao,fcCi/So,,-|-CoCiC2ai,i[|8o,< + CsA,<] + CoCiC,C3C,ao,fc[A,i + C5/S2,J+...,
tandis que la valeur de Bi,* est
Co Cl /So,i /8o,A + Co Cl C2 C3 /îi,i /ii,fc 4- Co Cl Co C3 C4 Cg /Sg,,- /Î2,fc + • • • 7
c'est-à dire, d'après les relations (7'),
(9) CoCifio,ii^0.k+C2^\,k]
+ Co Cl C2 Cg /îi,i [oi, A 4- c^ 0-2, ft] -f Co Cl C2 C3 C4 C5 ^2,i [ao,^ + Ce Cg^fc] + . . .
L'identité des expressions (8) et (9) est évidente. 11 est clair qu'on aura de la même façon
A.i,k+ï ^=Bi,fc, donc
Ai+i,* = A<,fc+i;
d'où l'on conclut que généralement
Aj,fc = Ar,s
sous la condition t -|- A = r 4- s-
On voit par là qu'il existe une série de quantités
telles que l'on a identiquement
A = ^ ^ tti+k XiXft,
B = ]^ 7 . gj+fc+iXi-Xfc.
De plus, si l'on remarque que, d'après notre algorithme, on a
a,-,. = /S»,i = 1 , on conclut directement les valeurs des déterminants
On-l On ■
Cln Cln + l
On-l
an
On
ffn+l
Oon — 1
— Cq X CqCjC2 X CqCj C2C3C4 X • • • X CqCiC2' • •'-2n — 2>
— Cq Cj X Cq Cj Co C3 X • • • X Cq 'î ^ " • • ''2 n — 1 >
et les formules que nous avons rappelées dans le n" 2 montrent alors que, en réduisant en fraction continue la série
Cg «1 1 02
on obtient la fraction continue
Le théorème énoncé est ainsi démontré.
5. On voit, par ce qui précède, que l'on pourra écrire immédiatement la fraction continue F, dès que l'on aura obtenu les décompositions en carrés des formes quadratiques
y , 7 . flt + A X,X*, ^^ ^^ tti + ft + l XiXfc.
Nous ajoutons que, en connaissant seulement la décomposition en carrés de
00 ry
7 ■ 7^ fl.+tXiX*,
on pourra écrire immédiatement la fraction continue F'. En effet, dans cette fraction continue figurent seulement les quantités
Cq, C^ C21 C3 C4 , Cj, Cg , ...
et
Les premières sont connues immédiatement. Quant aux autres, il suffit d'observer que
an.n + 1 = C] -(-C.2+ • ■ • 4- C2n + 1, "
pour en conclure
Ci=ao,i, C2 + C3 = ai,2 — «0,1, C4 -)- Cj = 00.8 — ai,o,
Sous une forme légèrement modifiée , nous pouvons dire : II. Si l'on a identiquement
on a en même temps
^ Çfi 1 Çfa ^ i
X a^'a^ rc* ' ■ ■ ■ .. , Cj : «0
aJ + ya — ^2 — •.
6. Nous allons donner maintenant quelques applications de ces théorèmes. Considérons pour cela le développement
(sécx)'' = ao+ i-^2^ + i . 2%T4^+ • • • •
On trouve facilement
ao = l, a, = k, a.2 = 2k-{-Skr, a;j= 16 A -f- 30*2+ 15 A;^, ....
Généralement a„ est un polynôme du degré n en A; mais la loi de ces polynômes est très compliquée. Nous allons voir que la réduction en
fraction continue de
a; a;2 ' ar' ■ ■ ■
conduit à des expressions très simples pour les c„. Soit
en calculant les dérivées successives /"', f", . . . , on obtient
f =: k (sec »)* tang » ,
f" = (séc xf [A + (A + K') tang-^ a;]',
Posons , pour abréger ,
tang'^ x-^z; on voit facilement que l'on aura généralement
f&m) =(sécxY<p,n,
f&m + l) —. (ggg ^)* Jajjg X tpm ,
ç>m et yjm étant des polynômes du degré m en «. En prenant les dérivées , on trouve les relations
Vm = 2{l-{-s)cp'„,-]-kq}m,
<p„ + l=2 2{l+z)v'„ + [l + {l + k)z-]Vm-
Nous désignons ici par (p'm , y'm les dérivées de <pm et de v'm par rapport à z. Ces relations permettent de calculer de proche en proche les polynômes 95 et t^, et si nous posons maintenant
«Pm = a».,o + A (A + 1) a„, 1 3 + A (ft + 1) (A + 2) (A 4- 3) a„,2 «2 + . . . ,
V„ = A:/î„,o + A(A: + l)(A4-2)/Sm,i« + /c(A+l)(A+2)(A-f3)(A+4)^„,2«2|-...,
il en résulte les relations suivantes
fim,o = am,o-\- 2(A; + l)am,i,
fim, 1 = a„, 1 + 4 (A -f- 3) Om, 2 , fim. 2 = «m, 2 + 6 (A -f- 5) Om, 3 ,
Pm.i = a„, , -}- (2 i + 2) (ft + 2 î 4- 1) a„,i+i ;
et
am + 1,1 = /îm,0 + 3 (A + 2) ^m, 1 ,
am + i,.- = /Sm,i-l + (2 i + 1) (/C + 2 i) ^„,i.
En comparant ces relations avec l'algorithme que nous avons exposé dans le n° 3, on reconnaît que les quantités a,,^, /9,;fr sont exactement celles qu'on aurait obtenues là en partant des valeurs
Ci = l.k, C2 = 2(A;+1), C3 = 3(A;4-2), ..., Cn = n(k + n—l),
et l'on en conclut, sans la moindre difficulté,
'Il 1^
En remarquant que
Ve.+ e-j -""o 1.2'' +1.2.
et que , par conséquent , l'intégrale
donne ce développement (divergent)
on obtient enfin ce résultat
Nous nous bornerons ici à considérer la transformation de la série en fraction continue au point de vue purement formel. Dans une autre
ids
occasion , nous ferons voir que la fraction continue que nous venons d'obtenir est convergente et représente effectivement l'intégrale si l'on suppose a; > 0, A > 0.
Notons, en passant, le cas particulier k = — n, n étant un nombre entier positif. La formule (10) se réduit alors à cette identité algébrique
7. Nous allons donner maintenant une application du théorème II. Considérons pour cela la fonction
/"r^sin ara a:, le module étant k comme d'ordinaire. En calculant les dérivées successives, on voit qu'on a
f =sin ama;[ao], f" = sin am x [oj + ^i ■^l - (11) .... { /^*^ = s\nnmxla2-{-b2Z-\-C2z'^'\,
/ (6> = sin am a; [og -\- b^ s -{- c^ z^ -\- f/3 z^'] ,
où nous avons posé , pour abréger , z = k sivî^ am x. Il est clair ensuite que
smarax = ;^^^ 3 .
et , d'après la série de Taylor , on a
i [sin am (x-\-y)-\- sin am {x - y)\ = f-\- f" ^^ + ^^ ^ ^^^ ^ + c'est-à-dire, d'après les formules (11), (12) . .
. \ [sin am {x-\-y)-\- sin am (x — y)\ = sm ara x
«o + «iï^+«2i,2 3 4 + - •■
+ 2 sin am x
6lïS+&2
-\- z^ sin ara x + . . .
D'autre part , on a , d'après les formules d'addition ,
l [sin am {x-{-y)-\- sin am {x — y)"]
sin am x cos am y A am y
[ — ^2 gi(j2 am X sin''^ am y
= sinama;cosamy Aam2/jl -^-kzsm^amy-^k^z^sm^amy-^.
La composition avec (12) fait voir que
cos am
2/ A am ?/ = Oo + «1 ^72 "^ "^ 1.2.3.4 + * " " '
A; sin'-^ am y cos am ?/ A am ?/ = b^ y^ -^ + h YTâTsTi ''•••'
k?sm* am y cos am y A am y ^
d'où l'on conclut , par intégration ,
sm am
sm"* am 2/ :=
sm" amy =
Si l'on se rappelle que z = A; sin^ am œ, on voit que le second membre de la formule (12) peut s'écrire
ar
.^irr273 + ^2X7273,4.5
2Î.2.3.4.5 tandis que le premier membre est
=1 irT:7Îk+T)C<-+''>""'+(^-*>'"'''i
La comparaison de ces deux expressions donne cette relation remarquable
Ui+k = ai a* -f 3 6< 6fc + 5 c, Cft + • • • ou , ce qui revient au même ,
22^«. + itXiXA = KXo + aiXi-fa2X2 + ...J
QO 00
Ayant ainsi obtenu la décomposition en carrés de V^ ^ Oi+k^iXk,
on peut écrire immédiatement la réduction en fraction continue de la
série -^ — A-\- II suffit pour cela de calculer Uq, Cj ; 61 , b^; c,, Cg, ... ,
ce **/
ce qui n'a aucune difficulté, à l'aide des formules (13).
En modifiant légèrement le résultat ainsi obtenu, nous trouvons que, si l'on écrit
sin am a; = oo a; — a, j— gTs + "2 ^ 2.8 4.5 ~ • • • '
la série (divergente)
qui provient de l'intégrale
!" donne la fraction continue (convergente)
r^A-S^I £Li±^?*
en posant , pour abréger , 1 + ^^ ^ '•
